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| Aufgabe | | Diagonalisieren Sie die durch B gegebene Isometrie. [mm] B=\pmat{ \bruch{-1}{3i} & \bruch{-2}{3i} + \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3i} - \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3i}}. [/mm] |
Hi, wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
Da es sich ja um eine Isometrie handelt gilt: [mm] \lambda [/mm] = [mm] \overline{\lambda} [/mm] = 1. Und das ist ja auch der einzige EW. Aber das wäre ja zu einfach, ich kann deshalb nicht sagen, dass dann [mm] B'=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] die Diagonalmatrix ist, wie muss ich hierbei vorgehen, kann mir vielleicht jemand helfen?
Und dann: Wie zeichne ich in der komplexen Ebene die Spur von A, die Eigenwerte von A, die Summe der Eigenwerte??
Die Spur ist ja: Spur(i)= [mm] \bruch{-1}{3i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3i} [/mm] = 0, Wie soll ich das denn zeichnen?
Und bei den EW, wie gesagt, es gilt doch, dass nur 1 der Eigenwert ist.
Danke für Hilfe.
Gruß
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> Diagonalisieren Sie die durch B gegebene Isometrie.
> [mm]B=\pmat{ \bruch{-1}{3i} & \bruch{-2}{3i} + \bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3i} - \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3i}}.[/mm]
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> Hi, wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
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> Da es sich ja um eine Isometrie handelt gilt: [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] = 1.
Hallo,
das stimmt nicht, da solltest Du nochmal genauer nachlesen, wie das mit den Isometrien und Eigenwerten ist.
> Und das ist ja auch der einzige EW.
Hast Du's nachgerechnet?
Weißt Du, daß die Spur die Summe der Eigenwerte ist?
> Aber das wäre ja zu einfach, ich kann deshalb nicht sagen,
> dass dann [mm]B'=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] die Diagonalmatrix
> ist, wie muss ich hierbei vorgehen, kann mir vielleicht
> jemand helfen?
Bestimme die zunächst Eigenwerte und dann eine Basis aus Eigenvektoren.
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> Und dann: Wie zeichne ich in der komplexen Ebene die Spur
> von A, die Eigenwerte von A, die Summe der Eigenwerte??
>
> Die Spur ist ja: Spur(i)= [mm]\bruch{-1}{3i}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3i}[/mm] =
> 0, Wie soll ich das denn zeichnen?
0=0+0*i. Ich würde den Ursprung einzeichnen.
Gruß v. Angela
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Hi, danke erstmal.
> das stimmt nicht, da solltest Du nochmal genauer nachlesen, wie das mit den Isometrien und Eigenwerten ist.
hmm, ich dachte das, weil wir ja so einen satz hatten:
Sei V unitär und f: V [mm] \to [/mm] V eine Isometrie, so gilt:
Wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW von f ist, so gilt: [mm] |\lambda|=1.
[/mm]
Deswegen dachte ich, dass der EW bei dieser Matrix auch 1 sein muss. Scheint wohl bei dieser Matrix nicht zu funktionieren, weil es sich hier nicht um einen Endomorphismus handelt, bzw. dazu sind keine Informationen gegeben, oder woran liegt es sonst? Weil ich habe gerade nochmal nachgeschaut, bei einer Isometrie handelt es sich ja immer um einen Endomorphismus, das ist jetzt bisschen komisch und ich kann mir nicht erklären, warum das mit dem EW=1 nicht funktioniert.
Also du sagst, ich soll das jetzt ganz normal machen, wie ich es bei einer herkömmlichen Matrix auch gemacht hätte? Also erst chark. Polynom aufstellen, dann die Eigenwerte ablesen und dann die zugehörigen EV berechnen?
> 0=0+0*i. Ich würde den Ursprung einzeichnen.
Meinst du wirklich nur den Punkt (0,0) oder die Ursprungsgerade?
danke und gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo,
dein Satz steht nicht im Widerspruch zu den Eigenwerten deiner Matrix. Der Satz sagt ja nur, das [mm] \red{|\lambda|}, [/mm] der [mm] \red{Betrag} [/mm] der Eigenwerte 1 ist. Und da die Eigenwerte auch komplexe Werte annehmen können,müssen die Eigenwerte hier nicht 1 sein (sind sie auch nicht), sie müssen nur auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene liegen.
Das weiter Vorgehen wäre wohl wirklich: Eigenwerte berechnen, Eigenvektoren berechnen, eine Transformationsmatrix $P$ aus der Eigenvektorbasis bilden und zeigen, dass [mm] P*B'*P^{-1}=B, [/mm] wobei $B'$ die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist.
Zur Spur: die Spur ist unter Ähnlichkeitstransformationen invariant, d.h. sie ist sowohl die Summe der Diagonalelemente als auch die Summe der Eigenwerte.
Du hast ja schon ausgerechnet, das Spur(B)=0. Was sagt dir das über die Eigenwerte, bevor du sie berechnet hast?
Wenn [mm] B\in \IC^{2\times2}, [/mm] Spur(B)=0 und [mm] |\lambda|=1 [/mm] gibt es eigentlich nur zwei Möglichkeiten für die Eigenwerte, kannst du dir herleiten welche?
(Tip: wenn eine komplexe Zahl Eigenwert einer Matrix ist, ist auch ihre Komplex-konjugierte Eigenwert dieser Matrix)
Spur(B) und die Eigenwerte sind Punkte in der komplexen Zahlenebene (keine Geraden!), also einfach komplexe Zahlen der Form $a+b*i$.
Die zeichnest du in ein normales zweidimensionales Koordinatensystem ein, indem du den Realteil, also a, als x-Komponente nimmst, und den Imaginärteil, also b, als y-Komponente. Der gesuchte Punkt ist einfach (a,b).
Du musst nur noch überlegen, was bei deinen Punkten a und b ist.
Gruß,
Vreni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mo 12.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi, vielen dank.
Jetzt hat alles geklappt. Wenn man sich alles zeichnet, dann sieht man auch besser, was mit Betrag von [mm] \lambda [/mm] gemeint ist.
Danke für die Hilfe.
Gruß
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