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| Aufgabe | Sei [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 0}\in\IQ^{2\times 2}
[/mm]
a) Gibt es eine Basis des [mm] $\IQ$-Vektorraums $\IQ^2$, [/mm] für welche die Matrix der Abbildung
[mm] $f_A:\IQ^2\to\IQ^2,\ x\mapsto [/mm] Ax$,
Diagonalgestalt besitzt? Wenn ja, bestimmen Sie eine solche Matrix.
b) Gibt es eine Basis des [mm] $\IQ$-Vektorraums $\IQ^2$, [/mm] für welche die Matrix der Bilinearform
[mm] $b_A:\IQ^2\times\IQ^2\to\IQ,\ (x,y)\mapsto [/mm] x^TAy$,
Diagonalgestalt besitzt? Wenn ja, bestimmen Sie eine solche Matrix.
c) Gibt es eine orthonormale Basis des [mm] $\IQ$-Vektorraums $\IQ^2$, [/mm] für welche die Matrix der Bilinearform
[mm] $b_A:\IQ^2\times\IQ^2\to\IQ,\ (x,y)\mapsto [/mm] x^TAy$,
Diagonalgestalt besitzt? Wenn ja, bestimmen Sie eine solche Matrix. |
Hallo Mathegemeinde,
wäre super, wenn mir jemand (oder mehrere) bei der obigen Aufgabe unter die Arme greift. ;)
Aufgabe a)
Ich berechne die Eigenwerte und erhalte:
[mm] \lambda_{1,2}=-1/2\pm 1/2\sqrt{17}
[/mm]
Damit ist [mm] \lambda\notin\IQ [/mm] und somit gibt es keine solche Basis.
Aufgabe b)
Sei [mm] x=(x_1,x_2)^T [/mm] und [mm] y=(y_1,y_2)^T.
[/mm]
Ich berechne die Bilinearform
[mm] b(x,y)=x^T*A*y=(x_1,x_2)\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 0}(y_1,y_2)=(x_1+2x_2,\ 2x_1)*\vektor{y_1\\y_2}=y_1x_1+2x_2y_1+2x_1y_2
[/mm]
Nun habe ich auf anderen Plattformen gesehen, dass $b(x,y)=0$ gesetzt wird. Falls dies der richtige Weg ist, frage ich mich hier: Warum?
Wenn ich in der Tat $b(x,y)=0$ setze, dann würde ich einfach unabhängige x und y so suchen.
Z.B.: $x=(2,-1)$ und $y=(1,0)$
Ist das denn in der Art und Weise schon korrekt? Ich vermute nein...
Wenn ich jetzt eine solche Basis habe, was muss dann gelten? Wie erhalte ich dann die Diagonalmatrix?
Aufgabe c)
Wenn ich in b) eine solche Basis gefunden habe, dann würde ich diese einfach orthonormieren. Wäre dies der richtige Weg?
Wobei sich dabei natürlich die Frage stellt, ob die Eigenschaft der Diagonalisierung noch erhalten ist. Dies gilt meiner Meinung nach im allgemeinen nicht. Schließlich verändere ich die Vektoren.
Über Hilfestellungen freue ich mich - wie immer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 08.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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