Dgl mittels Substitution lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f'(x) [/mm] = [mm] \bruch{2xy + 3y^2}{x^2 + 2xy} [/mm] |
Diese Aufgabe soll mittels Substitution gelöst werden.
Ich sitze da bereits einige Stunden dran, mit verschiedenen Ideen zur Substitution, z.B. [mm] \bruch{x}{y} [/mm], aber bei mir hängts bereits an der geeigneten Umformun, damit ich die richtige Substitution anwenden kann.
[mm] f'(x) [/mm] = [mm] \bruch {x}{y} [/mm] [mm] \left( \bruch{2x + 3y}{y + 2y} \right) [/mm] ist der Ansatz bei dem ich momentan hänge.
Vielleicht könnte mir jemand einen Tipp oder eine Idee zur weiteren Umformung geben.
mfg und danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo TobiS1988,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f'(x)[/mm] = [mm]\bruch{2xy + 3y^2}{x^2 + 2xy} [/mm]
>
> Diese Aufgabe soll mittels Substitution gelöst werden.
>
> Ich sitze da bereits einige Stunden dran, mit verschiedenen
> Ideen zur Substitution, z.B. [mm]\bruch{x}{y} [/mm], aber bei mir
> hängts bereits an der geeigneten Umformun, damit ich die
> richtige Substitution anwenden kann.
>
> [mm]f'(x)[/mm] = [mm]\bruch {x}{y}[/mm] [mm]\left( \bruch{2x + 3y}{y + 2y} \right)[/mm]
> ist der Ansatz bei dem ich momentan hänge.
>
> Vielleicht könnte mir jemand einen Tipp oder eine Idee zur
> weiteren Umformung geben.
Substituiere [mm]y=u*x[/mm]
>
> mfg und danke im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Diese Substitution habe ich bereits ausprobiert, es mangelt bei mir auch nich am umsetzen der Substitution, sondern eher am Umformen der Bruchgleichung, um die Substitution anzuwenden.
[mm] f'(x) [/mm] = [mm] \bruch {x}{y} [/mm] [mm] \left( \bruch{2x + 3y}{y + 2y} \right) [/mm]
Ich komme hier einfach nicht auf den nächsten Schritt, da muss man ja sicher noch weiter umformen.
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Hallo TobiS1988,
> Diese Substitution habe ich bereits ausprobiert, es mangelt
> bei mir auch nich am umsetzen der Substitution, sondern
> eher am Umformen der Bruchgleichung, um die Substitution
> anzuwenden.
>
>
> [mm]f'(x)[/mm] = [mm]\bruch {x}{y}[/mm] [mm]\left( \bruch{2x + 3y}{y + 2y} \right)[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]f'(x) = \red{\bruch{y}{x}}\left( \bruch{2x + 3y}{\red{x} + 2y} \right)[/mm]
Ist [mm]y=f(x)\right)[/mm] so folgt:
[mm]y' = \bruch{y}{x}\left( \bruch{2x + 3y}{x + 2y} \right)[/mm]
Setze jetzt die Subsitution [mm]y=u*x[/mm] ein.
>
> Ich komme hier einfach nicht auf den nächsten Schritt, da
> muss man ja sicher noch weiter umformen.
>
Gruss
MathePower
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So bin jetzt immer noch am rechnen,
habe jetzt in [mm] f'(x) [/mm] = [mm] \bruch {y}{x} [/mm] [mm] \left( \bruch{2x + 3y}{x + 2y} \right) [/mm]
Die Substitution y= u [mm] \cdot [/mm] x eingesetzt,
[mm] f'(x) [/mm] = [mm] \bruch {u*x}{x} [/mm] [mm] \left( \bruch{2x + 9ux}{x + 4ux} \right) [/mm] kommt bei mir raus.
Durch einsetzen von y'= u' [mm] \cdot [/mm] x + u komme ich dann auf
[mm] u' \cdot \ x + u [/mm] = [mm] \bruch { u}{1} [/mm] [mm] \left( \bruch{2x + 9ux}{x + 4ux} \right) [/mm]
kommt mir aber irgendwie total falsch vor.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Do 30.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kürz noch das x in dem Bruch, die 9ux sind falsch, es ist 3ux
dann hast du ne einfache trennbare Dgl. langsamer rechnen und kürzen , wo es geht, und wie beurteilst du " irgendwie total falsch " da war nur 1 Fehler.
gruss leduart
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Also meine weiteren Rechnungen sehen wie folgend aus:
[mm] u' \cdot \ x + u [/mm] = [mm] \bruch { u}{1} [/mm] [mm] \left( \bruch{2x + 3ux}{x + 2ux} \right) [/mm]
x herausgekürzt
[mm] u' \cdot \ x + u [/mm] = [mm] \bruch { u}{1} [/mm] [mm] \left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right) [/mm]
dann u auf der linken seite subtrahiert
[mm] u' \cdot \ x [/mm] = [mm] \bruch { u}{1} [/mm] [mm] \left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right) - u [/mm]
dann u' = du / dx eingesetzt und Variablen separiert und durch u geteilt um auf die +1 zu kommen
[mm] \bruch {du}{u} +1 [/mm] = [mm] \left( \bruch{2 + 3u}{(1 + 2u) \cdot \ x} \right) dx [/mm]
und dann integriert und als ergebnis der Integration:
[mm] ln u + u = (2 + 3u) ln ((1+2u) \cdot x) [/mm]
Ich wollte dann mithilfe der e-funktion den ln wegfallen lassen, aber ich kriegs nich hin, da noch die Klammer mit (2 + 3u) dasteht, da muss irgendwas falsch sein und ich komm nicht weiter.
Mein Hauptproblem liegt im moment wohl darin, dass ich es nicht schaffe den Bruch auf der rechten Seite richtig zusammenzufassen bevor ich ich weiterrechne.
Ich habe jetzt den rechten Bruch,
[mm] \left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right) [/mm] zu 3,5 zusammengefasst,
[mm] \left( \bruch{2 \cdot 2u + 3u \cdot 1}{1 \cdot 2u} \right) [/mm]
[mm] \left( \bruch{4u + 3u}{2u} \right) [/mm] = 3,5
ist das richtig?
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> Also meine weiteren Rechnungen sehen wie folgend aus:
>
> [mm]u' \cdot \ x + u[/mm] = [mm]\bruch { u}{1}[/mm] [mm]\left( \bruch{2x + 3ux}{x + 2ux} \right)[/mm]
>
> x herausgekürzt
>
> [mm]u' \cdot \ x + u[/mm] = [mm]\bruch { u}{1}[/mm] [mm]\left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right)[/mm]
>
> dann u auf der linken seite subtrahiert
>
> [mm]u' \cdot \ x[/mm] = [mm]\bruch { u}{1}[/mm] [mm]\left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right) - u[/mm]
fasse rechts die brüche zusammen, danach läuft irgendetwas schief
>
> dann u' = du / dx eingesetzt und Variablen separiert und
> durch u geteilt um auf die +1 zu kommen
>
> [mm]\bruch {du}{u} +1[/mm] = [mm]\left( \bruch{2 + 3u}{(1 + 2u) \cdot \ x} \right) dx[/mm]
>
> und dann integriert und als ergebnis der Integration:
>
> [mm]ln u + u = (2 + 3u) ln ((1+2u) \cdot x)[/mm]
>
> Ich wollte dann mithilfe der e-funktion den ln wegfallen
> lassen, aber ich kriegs nich hin, da noch die Klammer mit
> (2 + 3u) dasteht, da muss irgendwas falsch sein und ich
> komm nicht weiter...
gruß tee
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Hallo TobiS1988,
> Also meine weiteren Rechnungen sehen wie folgend aus:
>
> [mm]u' \cdot \ x + u[/mm] = [mm]\bruch { u}{1}[/mm] [mm]\left( \bruch{2x + 3ux}{x + 2ux} \right)[/mm]
>
> x herausgekürzt
>
> [mm]u' \cdot \ x + u[/mm] = [mm]\bruch { u}{1}[/mm] [mm]\left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right)[/mm]
>
> dann u auf der linken seite subtrahiert
>
> [mm]u' \cdot \ x[/mm] = [mm]\bruch { u}{1}[/mm] [mm]\left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right) - u[/mm]
So, hier hast du ja wahrscheinlich u ausgeklammert und auf die andere Seite geholt also:
$u' [mm] \cdot [/mm] x = u [mm] \left( \bruch{2 + 3u}{1 + 2u} \right) [/mm] - u = u [mm] \cdot \left( \bruch{2+3u}{1+2u} - 1 \right)$
[/mm]
nun [mm] $\bruch{2+3u}{1+2u} [/mm] - 1$ in [mm] $\bruch{1+u}{1+2u}$ [/mm] umformen
Also hast du jetzt:
$u' [mm] \cdot [/mm] x = u [mm] \cdot \bruch{1+u}{1+2u}$
[/mm]
Jetzt machst du u' = du/dx, machst alles was ein u hat auf die linke Seite ,alles was x hat auf die rechte Seite und integrierst.
Ich hoffe, ich konnte die das verständlich erklären.
Wenn du ein Ergebnis hast, bitte nochmal melden.
Ciao
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Okay, also die Umformung hab ich jetzt,
habe das Ganze jetzt so umgestellt:
$ u' [mm] \cdot [/mm] x = [mm] \bruch{1+2u}{u \cdot 1 +u} [/mm] du = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx $
Ist das so weit richtig?
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> Okay, also die Umformung hab ich jetzt,
>
> habe das Ganze jetzt so umgestellt:
>
> [mm]u' \cdot x = \bruch{1+2u}{u \cdot 1 +u} du = \bruch{1}{x} dx[/mm]
>
> Ist das so weit richtig?
Eigentlich nicht. Ich habe doch geschrieben: $u' [mm] \cdot [/mm] x = [mm] \bruch{1+2u}{u(1+u)}$
[/mm]
Jetzt Variablen seperieren und integrieren.
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so ich rechne das jetzt nochma ovn Anfang an, falls ich irgendwo einen Fehler mache, bitte weißt mich darauf hin und sagt mir auch konkret wo der fehler liegt, damit ich das auch nachvollziehen kann.
1. $ u' [mm] \cdot [/mm] x = u [mm] \cdot \bruch{1+u}{1+2u} [/mm] $
2. $ [mm] \bruch{du}{dx} \cdot [/mm] x $ = $ [mm] \bruch{u \cdot (1+u)}{1+2u} [/mm] $
3. $ [mm] \integral \bruch [/mm] {1+2u}{u [mm] \cdot [/mm] (1+u)} du = [mm] \integral \bruch [/mm] {1}{x} dx $
Und ab diesem Punkt hänge ich wieder, ich krieg ums verderben die Integration nicht hin. Und ich weiß auch nicht wie ich den ln dann wieder rauskriegen soll.
Als Ergebnis soll rauskommen:
$ xy + [mm] y^2 [/mm] = [mm] Cx^3 [/mm] $
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> so ich rechne das jetzt nochma ovn Anfang an, falls ich
> irgendwo einen Fehler mache, bitte weißt mich darauf hin
> und sagt mir auch konkret wo der fehler liegt, damit ich
> das auch nachvollziehen kann.
>
> 1. [mm]u' \cdot x = u \cdot \bruch{1+u}{1+2u}[/mm]
>
> 2. [mm]\bruch{du}{dx} \cdot x[/mm] = [mm]\bruch{u \cdot (1+u)}{1+2u}[/mm]
>
> 3. [mm]\integral \bruch {1+2u}{u \cdot (1+u)} du = \integral \bruch {1}{x} dx[/mm]
alles bestens bis hier. die rechte seite zu integrieren sollte wie links kein problem sein.
multipliziere im nenner mal aus:
[mm] \frac{1+2u}{u*(1+u)}=\frac{1+2u}{u+u^2}
[/mm]
nun solltest du entweder den nenner substituieren, oder aber wissen, dass [mm] \int\frac{f'(x)}{f(x)}=ln|f(x)|
[/mm]
die integrationskonstante rechts nicht vergessen!
>
> Und ab diesem Punkt hänge ich wieder, ich krieg ums
> verderben die Integration nicht hin. Und ich weiß auch
> nicht wie ich den ln dann wieder rauskriegen soll.
das machen wir dann im nächsten schritt
>
> Als Ergebnis soll rauskommen:
>
> [mm]xy + y^2 = Cx^3[/mm]
>
gruß tee
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So,
$ [mm] \integral \bruch {1+2u}{(u+u^2)} [/mm] du = [mm] \integral \bruch [/mm] {1}{x} dx $
integriere ich zu
$ (1 + 2u) [mm] \cdot [/mm] $ $ ln|u + [mm] u^2| [/mm] = ln|x| + C $
Und ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter, ich würd e normalerweise versuchen das ln mittels exp. wegzukriegen, aber da noch andere Terme ohne ln enthalten sind, weiß ich nicht weiter.
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> So,
>
>
> [mm]\integral \bruch {1+2u}{(u+u^2)} du = \integral \bruch {1}{x} dx[/mm]
>
> integriere ich zu
>
> [mm](1 + 2u) \cdot[/mm] [mm]ln|u + u^2| = ln|x| + C[/mm]
nein, links ist falsch integriert.. lies nochmal meinen tipp oder substituiere!
>
> Und ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter, ich würd e
> normalerweise versuchen das ln mittels exp. wegzukriegen,
> aber da noch andere Terme ohne ln enthalten sind, weiß ich
> nicht weiter.
>
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Okay also jetzt nochma richtig ^^
$ [mm] \integral \bruch {1+2u}{(u+u^2)} [/mm] du = [mm] \integral \bruch [/mm] {1}{x} dx $
wird zu
$ ln|u + [mm] u^2| [/mm] = ln|x| + C $
Wenn ich jetzt die Exponentialfunktion anwende kommt raus
$ (u + [mm] u^2) [/mm] = x + C $
Bei Rücksubstitution komme ich fast auf das richtige Ergebnis,
ich komme auf
$ yx [mm] +y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + C$
Das Einzige was nicht stimmt ist das +C da hab ich doch bestimmt was falsch integriert beim ln rechts oder?
Und heißt dein Tipp fenchel, dass $ [mm] \int\frac{f'(x)}{f(x)}=ln|f(x)| [/mm] $ man den Zähler beim Integrieren einfach weglassen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 30.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum Integral_ differenziere doch mal ln(f(x))
2, [mm] e^{a+b}\ne e^a+e^b
[/mm]
das zu deiner Umwandlung!
Gruss leduart
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Ähhh, wenn ich $ ln|f(x)| $ differenziere kommt doch einfach nur $ [mm] \bruch [/mm] {1}{x} dx $ dabei raus oder?
Aber ich beziehe mich auf die linke Seite und die Regel, dass [mm] e^a+b [/mm] nicht gleich [mm] e^a [/mm] + [mm] e^b [/mm] ist, ist mir bewusst, aber ich verstehe den Bezug zu meinem ln Problem leider nicht.
Könnte es vielleicht so sein:
$ ln|u + [mm] u^2| [/mm] = ln|x| + ln|C| $
und daraus folgt
$ ln|x| + ln|C| = ln|x [mm] \cdot [/mm] C| $
mittels e-Funktion
dann
$ ln|x [mm] \cdot [/mm] C| = x [mm] \cdot [/mm] C $
Ist das richtig?
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> Ähhh, wenn ich [mm]ln|f(x)|[/mm] differenziere kommt doch einfach
> nur [mm]\bruch {1}{x} dx[/mm] dabei raus oder?
nach kettenregel gilt:
[mm] (ln(f(x)))'=\frac{1}{f(x)}*\red{f'(x)}
[/mm]
die innere ableitung darfst du nicht vergessen.
hättest du das integral per substitution dennoch mal probiert, hättest du die lösung auch nachvollziehen können
>
> Aber ich beziehe mich auf die linke Seite und die Regel,
> dass [mm]e^a+b[/mm] nicht gleich [mm]e^a[/mm] + [mm]e^b[/mm] ist, ist mir bewusst,
> aber ich verstehe den Bezug zu meinem ln Problem leider
> nicht.
>
> Könnte es vielleicht so sein:
>
> [mm]ln|u + u^2| = ln|x| + ln|C|[/mm]
>
> und daraus folgt
>
> [mm]ln|x| + ln|C| = ln|x \cdot C|[/mm]
>
> mittels e-Funktion
>
> dann
>
> [mm]ln|x \cdot C| = x \cdot C[/mm]
>
> Ist das richtig?
wir hatten doch eben zuletzt korrekterweise:
$ ln|u + [mm] u^2| [/mm] = ln|x| + C $
nun die e funktion angewandt:
[mm] |u+u^2|=|x|*e^C
[/mm]
[mm] u+u^2=x*C_1
[/mm]
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>
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Sry wegen der Substitution, werd ich gleich nochma ausprobieren, aber
welche Regel beschreibt denn diesen Übergang:
wir hatten doch eben zuletzt korrekterweise:
$ ln|u + [mm] u^2| [/mm] = $ ln|x| + C
nun die e funktion angewandt:
$ [mm] |u+u^2|$ [/mm] = |x| [mm] \cdot e^C
[/mm]
[mm] u+u^2=x\cdot{}C_1 [/mm]
Welche Regel macht aus dem $ ln|x| + C $
$ |x| [mm] \cdot e^C [/mm] $
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> Sry wegen der Substitution, werd ich gleich nochma
> ausprobieren, aber
>
> welche Regel beschreibt denn diesen Übergang:
>
> wir hatten doch eben zuletzt korrekterweise:
> [mm]ln|u + u^2| =[/mm] ln|x| + C
>
> nun die e funktion angewandt:
>
> [mm]|u+u^2|[/mm] = |x| [mm]\cdot e^C[/mm]
>
> [mm]u+u^2=x\cdot{}C_1[/mm]
>
> Welche Regel macht aus dem [mm]ln|x| + C das hier |x| \cdot e^C[/mm]
ln(x)+c
nun e funktion:
[mm] e^{ln(x)+c}=e^{ln(x)}*e^c=x*e^c=x*c_1
[/mm]
gruß tee
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Ersmta vielen Dank für eure Hilfe, habs jetzt geschafft mich dank eurer Hilfe zur richtigen lösung durchzubeißen!
Eine allerletzte Frage hätte ich noch,
$ [mm] e^{ln(x)+c}=e^{ln(x)}\cdot{}e^c=x\cdot{}e^c=x\cdot{}c_1 [/mm] $
Aus dem $ [mm] e^c [/mm] $ wird $ [mm] c_1 [/mm] $,
dass ist das Einzige was ich bisher noch nicht verstanden habe. Sonst ist alles drin ^^
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Das ist nur eine Umbenennung einer Konstanten. [mm] e^{const} [/mm] ist konstant, sieht aber nicht so schön aus und deswegen nennt man die Konstante dann anders, z.B. [mm] c_1.
[/mm]
lg weightgainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 30.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du integrierst und das noch schlecht kannst, solltest du zur Probe immer wieder differenzieren,
wie man f'/f integriert wurde dir doch gesagt? was machst du denn daraus?
also versuchs nochmal, und mach die Probe!
Um siche zu gehen: dein integral ist falsch
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Do 30.12.2010 | | Autor: | Calli |
> Als Ergebnis soll rauskommen:
>
> [mm]xy + y^2 = Cx^3[/mm]
Und wie lautet dann
[mm] $y(x)=\cdots \quad [/mm] ?$
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Do 30.12.2010 | | Autor: | TobiS1988 |
Hey,
also die Lösung genügt implizit sein,
also bleibt es einfach bei $ xy + [mm] y^2 [/mm] = [mm] Cx^3 [/mm] $
Nochmal vielen Dank an eure Hilfe!
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Do 30.12.2010 | | Autor: | Calli |
> Hey,
>
> also die Lösung genügt implizit sein,
Schwaches Bild !
Kein Interesse, wie der Graph der Funktion zu dieser 'verrückten' DGL aussieht ?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Wenn die Integration zu ln(...) führt, ist es äußerst praktisch, die Integrationskonstante nicht mit C zu bezeichnen sondern durch den natürlichen Logarithmus auszudrücken.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Schreib mal
