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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 15.04.2016 | | Autor: | Angloe |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Differentialgleichung
[mm] \bruch{1}{y}*\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}- \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}= [/mm] f(x,y)
Bestimmen Sie eine allgemeine Lösung für f(x,y) |
Wie muss ich bei dieser Aufgabe mit dem einfachen y umgehen?
Mein Ansatz ist der Produktansatz:
f(x,y)= X(x)*Y(y)
eingesetz in die Ableitung ergibt das:
[mm] X(x)*Y(y)=\bruch{1}{y}*X'(x)Y(y)-X(x)Y'(y)
[/mm]
also:
[mm] \bruch{X'(x)}{X(x)} [/mm] = [mm] (1+\bruch{Y'(y)}{Y(y)})*y [/mm] = const
Meine Frage ist nun, was genau jetzt die Konstante K ist. Wenn ich bsplw. die Differentialgleichung für Y(y) aufstellen möchte, gilt dann:
[mm] \bruch{X'(x)}{X(x)}=K
[/mm]
[mm] Y'(y)=\bruch{(K-y)}{y}*Y(y)
[/mm]
und wenn ja, was passiert mit dem y beim Integrieren?
Mein Ansatz wäre:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{Y'(y)}{Y(y)}}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{K}{y}-y}
[/mm]
lnY(y)=K*ln(y)-y
[mm] Y(y)=y^{K}*e^{-y}
[/mm]
Und wenn man dann die Differentialgleichung für X(x) aufstellen möchte, wie ist K dann zu definieren?
[mm] K=\bruch{Y'(y)}{Y(y)}
[/mm]
oder
[mm] K=(1+\bruch{Y'(y)}{Y(y)})*y
[/mm]
Schon mal vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Fr 15.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich hast du es ja schon in deiner ersten Gl stehen:
$ [mm] K=(1+\bruch{Y'(y)}{Y(y)})\cdot{}y [/mm] $ ist richtig
das hast du ja auch gelöst, allerdings ist es sehr falsch die Grenzen [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] daran zu schreiben, das wäre eine Zahl, oder ˜infty, aber keine Funktion! Du bestimmst das unbestimmte Integral, deshalb brauchst du noch für die Lösung eine Integrationskonstante, die bei dir fehlt
(sonst integriert du links von [mm] y_0 [/mm] bis y rechts von [mm] x_0 [/mm] bis x mit [mm] y_0=Y(x_0))
[/mm]
Gruß leduart
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