Dgl lösen+Existenzintervall < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Gleichung(+ maximales Existenzintervall):
[mm] y'(x)=\bruch{-x^2}{y(x)^3} [/mm] |
Hallo!
Hab versucht, diese Dgl zu lösen.
Ansatz: Es handelt sich eine trennbare Dgl.
[mm] y'(x)=\bruch{-x^2}{y(x)^3} [/mm] <=> [mm] y'(x)y(x)^3=-x^2 [/mm] <=> [mm] \integral_{}^{}{y(x)^3 dy(x)}=\integral_{}^{}{-x^2 dx}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{4}y(x)^4 [/mm] + a= [mm] \bruch{-1}{3}x^3 [/mm] +b [mm] (a,b\in \IR) [/mm] / c:= b-a
<=> [mm] \bruch{1}{4}y(x)^4=\bruch{-x^3+3c}{3}
[/mm]
<=> y(x)= [mm] \wurzel[4]{\bruch{-4}{3}(x^3+3c)} (c\in\IR)
[/mm]
Existenzintervall: [mm] x^3+3c<0 [/mm] <=> [mm] x<\wurzel[3]{-3c}
[/mm]
So, es wäre nett, wenn mir einer meine Lösung mal durchgucken kann nach Fehlern.
Fühl mich irgendwie unsicher beim Existenzintervall.
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Fr 15.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimme die allgemeine Lösung der Gleichung(+ maximales
> Existenzintervall):
> [mm]y'(x)=\bruch{-x^2}{y(x)^3}[/mm]
> Hallo!
> Hab versucht, diese Dgl zu lösen.
>
> Ansatz: Es handelt sich eine trennbare Dgl.
>
> [mm]y'(x)=\bruch{-x^2}{y(x)^3}[/mm] <=> [mm]y'(x)y(x)^3=-x^2[/mm] <=>
> [mm]\integral_{}^{}{y(x)^3 dy(x)}=\integral_{}^{}{-x^2 dx}[/mm]
> <=>
> [mm]\bruch{1}{4}y(x)^4[/mm] + a= [mm]\bruch{-1}{3}x^3[/mm] +b [mm](a,b\in \IR)[/mm] /
> c:= b-a
> <=> [mm]\bruch{1}{4}y(x)^4=\bruch{-x^3+3c}{3}[/mm]
> <=> y(x)= [mm]\wurzel[4]{\bruch{-4}{3}(x^3+3c)} (c\in\IR)[/mm]
Hallo,
die letzte Gleichung muss
y(x)= [mm]\wurzel[4]{\bruch{-4}{3}(x^3-3c)} (c\in\IR)[/mm] sein.
Gruß Abakus
>
> Existenzintervall: [mm]x^3+3c<0[/mm] <=> [mm]x<\wurzel[3]{-3c}[/mm]
>
> So, es wäre nett, wenn mir einer meine Lösung mal
> durchgucken kann nach Fehlern.
> Fühl mich irgendwie unsicher beim Existenzintervall.
>
> Vielen Dank schonmal
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo!
Erstmal danke für dein Beitrag.
Doch ich hab leider das Problem, dass ich nicht weiß, in wie weit sich deine Lösung von meiner Lösung unterscheidet.
Ich habe die beiden Konstanten a,b zur neuen Konstante c:= b-a zusammengesetzt.
Um auf deine Lösung zu kommen, setzt man die neue Konstante c:= a-b.
Meine Frage: Ist meine Lösung falsch? Und wenn ja, warum? Es ist doch nicht vorgeschrieben, wie man die neue Konstante definiert.
Ich frage mich auch: Kann man -3c bzw. 3c durch eine neue Konstante ersetzen?
Und ist mein Definitionsgebiet richtig?
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Fr 15.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
> Erstmal danke für dein Beitrag.
> Doch ich hab leider das Problem, dass ich nicht weiß, in
> wie weit sich deine Lösung von meiner Lösung
> unterscheidet.
> Ich habe die beiden Konstanten a,b zur neuen Konstante c:=
> b-a zusammengesetzt.
> Um auf deine Lösung zu kommen, setzt man die neue
> Konstante c:= a-b.
>
> Meine Frage: Ist meine Lösung falsch? Und wenn ja, warum?
> Es ist doch nicht vorgeschrieben, wie man die neue
> Konstante definiert.
> Ich frage mich auch: Kann man -3c bzw. 3c durch eine neue
> Konstante ersetzen?
> Und ist mein Definitionsgebiet richtig?
Außer diesem Vorzeichenfehler beim Ausklammern habe ich keinen Fehler bemerkt.
Natürlich kann man auch 3c oder -3c durch eine neue Konstante C ersetzen.
Übrig bleibt x<C.
Und diese Konstante C macht man einfach riesengroß, dann hat man einen großen Definitionsbereich für x.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank schonmal
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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