Dgl höher Ordnung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Differentialgleichungen jeweils die allgemeine Lösung. Geben Sie jeweils auch ein Fundametalsystem der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung an.
a) [mm] y''+3y'+2y=\bruch{1}{e^x+1}
[/mm]
b) [mm] y^{(4)}+y''=7x-3cosx [/mm] |
Hallo,
also wäre das homogene Gleichungen wüsste ich wie es geht. Funktioniert das hier genauso?
Also ich müsste die Gleichung erstmal eine 1. Ordnung überführen. Dann über das charakteristische Polynom die Eigenwerte berechnen.
Wenn das bis dahin erstmal stimmt, wie muss ich dann weiter vorgehen?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Bestimmen Sie für die folgenden Differentialgleichungen
> jeweils die allgemeine Lösung. Geben Sie jeweils auch ein
> Fundametalsystem der zugehörigen homogenen linearen
> Differentialgleichung an.
>
> a) [mm]y''+3y'+2y=\bruch{1}{e^x+1}[/mm]
> b) [mm]y^{(4)}+y''=7x-3cosx[/mm]
> Hallo,
>
> also wäre das homogene Gleichungen wüsste ich wie es
> geht. Funktioniert das hier genauso?
>
> Also ich müsste die Gleichung erstmal eine 1. Ordnung
> überführen. Dann über das charakteristische Polynom die
> Eigenwerte berechnen.
> Wenn das bis dahin erstmal stimmt, wie muss ich dann weiter
> vorgehen?
Zunächst überführst Du die gegebene DGL in ein System von DGLn 1. Ordnung.
Die nächsten Schritte sind richtig.
Wenn Du die Eigenwerte berechnet hast,
dann musst Du die zugehörigen Eigenvektoren berechnen.
Damit hast Du dann die homogene Lösung des Systems 1. Ordnung.
Für die Lösung des inhomogenen Systems wendest
Du die Methode der Variation der Konstanten an.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Halle Mathepower,
bei mir ist wieder mal das Problem, das ich nicht weiß wie ich Übergansmatrix aufstelle um die EW zu berechnen.
Bei
a)
[mm] y_1=y
[/mm]
[mm] y_2=y_1'=y'
[/mm]
[mm] y_3=y_2'=y''
[/mm]
==> [mm] y_3'+3y_3+y_2=0 [/mm]
b)
[mm] y_1=y
[/mm]
[mm] y_2=y_1'=y'
[/mm]
[mm] y_3=y_2'=y''
[/mm]
[mm] y_4=y_3'=y'''
[/mm]
==> [mm] y_4'+y_3=0
[/mm]
Jetzt hab ich eben das Problem, dass man das charakt. Polynom nicht einfach ablesen kann, und nicht 100%tig weiß, wie man die Matrix aufstellt.
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Halle Mathepower,
>
> bei mir ist wieder mal das Problem, das ich nicht weiß wie
> ich Übergansmatrix aufstelle um die EW zu berechnen.
>
> Bei
> a)
> [mm]y_1=y[/mm]
> [mm]y_2=y_1'=y'[/mm]
> [mm]y_3=y_2'=y''[/mm]
Die letzte Zeile lautet:
[mm]y_{2}'=y''=-3y'-2y+\bruch{1}{e^{x}+1}=-3y_{2}-2y_{1}+\bruch{1}{e^{x}+1}[/mm]
Somit lautet das System:
[mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=\pmat{0 & 1 \\ -2 & -3}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ \bruch{1}{e^{x}+1}}[/mm]
Somit hast Du von der Matrix
[mm]\pmat{0 & 1 \\ -2 & -3}[/mm]
die Eigenwerte zu berechnen.
>
> ==> [mm]y_3'+3y_3+y_2=0[/mm]
>
> b)
> [mm]y_1=y[/mm]
> [mm]y_2=y_1'=y'[/mm]
> [mm]y_3=y_2'=y''[/mm]
> [mm]y_4=y_3'=y'''[/mm]
>
> ==> [mm]y_4'+y_3=0[/mm]
>
> Jetzt hab ich eben das Problem, dass man das charakt.
> Polynom nicht einfach ablesen kann, und nicht 100%tig
> weiß, wie man die Matrix aufstellt.
Nun, das charakteristische Polynom lautet im Fall a)
[mm]\operatorname{\det}\left( \ \pmat{0 & 1 \\ -2 & -3} - \lambda*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} \ } \right)[/mm]
Davon bestimmst Du jetzt die Nullstellen.
Löse demnach
[mm]\operatorname{\det}\left( \ \pmat{0 & 1 \\ -2 & -3} - \lambda*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} \ } \right)=0[/mm]
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Hallo,
danke für die gute Erklärung, nun hab ich es richtig verstanden.
Damit komme ich bei erstmal auf
Eigenwerte: [mm] \lambda_1=-1, \lambda_2=-2
[/mm]
Eigenvektoren: [mm] v_1=\vektor{ -1 \\ 1 }, v_1=\vektor{ -1/2 \\ 1 } [/mm]
homogenes FS: [mm] y_{hom}(t)=C_1*\vektor{ -1 \\ 1 }*e^{-t}+C_2* \vektor{ -1/2 \\ 1 }*e^{-2t}.
[/mm]
Soweit i.O.?
Bei b) ist das Problem, dass ich hier ja [mm] y^{(4)} [/mm] und y'' hab. Hier weiß ich nicht wie ichs umstellen soll, brauch ich noch [mm] y_5 [/mm] und stell dann nach [mm] y_5' [/mm] und [mm] y_2' [/mm] um, damit ich auf die Matrix komme?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Hallo,
>
> danke für die gute Erklärung, nun hab ich es richtig
> verstanden.
>
> Damit komme ich bei erstmal auf
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_1=-1, \lambda_2=-2[/mm]
> Eigenvektoren:
> [mm]v_1=\vektor{ -1 \\ 1 }, v_1=\vektor{ -1/2 \\ 1 }[/mm]
> homogenes FS: [mm]y_{hom}(t)=C_1*\vektor{ -1 \\ 1 }*e^{-t}+C_2* \vektor{ -1/2 \\ 1 }*e^{-2t}.[/mm]
>
> Soweit i.O.?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei b) ist das Problem, dass ich hier ja [mm]y^{(4)}[/mm] und y''
> hab. Hier weiß ich nicht wie ichs umstellen soll, brauch
> ich noch [mm]y_5[/mm] und stell dann nach [mm]y_5'[/mm] und [mm]y_2'[/mm] um, damit
> ich auf die Matrix komme?
Nein.
Die Gleichung, die Du noch brauchst, lautet:
[mm]y_{4}'=-y_{3}+7x+\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke, aber wie läuft das hier mit der Matrix aufstellen? Hab ja nun eigentlich [mm] \pmat{y_{2}' \\ y_{4}'} [/mm] aufzustellen oder? Aber dann funktioniert das irgendwie nicht, zumindest nicht wie bei a)
Mein Problem liegt gerade darin, das ich hier ja ein y "überspringe" und mir das bei nem 2er vektor dann fehlt.
Irgendwie hab ich dann ja [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 3 } [/mm] das sieht sehr falsch aus, könntest du mir noch mal hier die Aufschlüsselung schreiben, wie du es bei a gemacht hast, dass ichs besser nachvollziehen kann, wie man sowas aufstellt?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Hallo Mathepower,
>
> danke, aber wie läuft das hier mit der Matrix aufstellen?
> Hab ja nun eigentlich [mm]\pmat{y_{2}' \\ y_{4}'}[/mm] aufzustellen
> oder? Aber dann funktioniert das irgendwie nicht, zumindest
> nicht wie bei a)
> Mein Problem liegt gerade darin, das ich hier ja ein y
> "überspringe" und mir das bei nem 2er vektor dann fehlt.
> Irgendwie hab ich dann ja [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 3 }[/mm] das
> sieht sehr falsch aus, könntest du mir noch mal hier die
> Aufschlüsselung schreiben, wie du es bei a gemacht hast,
> dass ichs besser nachvollziehen kann, wie man sowas
> aufstellt?
Du hast doch folgende Gleichungen:
[mm]y_{1}'=y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}'=y_{3}[/mm]
[mm]y_{3}'=y_{4}[/mm]
[mm]y_{4}'=-y_{3}+7x-3*\cos\left(x\right)[/mm]
Und das mußt Du jetzt in Matrixschreibweise überführen.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Ah ok, also bekomm ich doch dann
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0}*\vektor{ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 } [/mm] Richtig?
Wenn das so wäre, dann würde ich als EW ja [mm] \lamda_{1,2}=0, \lambda_3=i [/mm] und [mm] \lambda_4=-i [/mm] bekommen.
Damit wäre meine EV: [mm] v_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, v_2 [/mm] wäre der Nullvektor welcher damit erstmal entfällt, [mm] v_3=\vektor{ i \\ -1 \\ -i \\ 1 } [/mm] und [mm] v_4=\vektor{ -i \\ -1 \\ i \\ 1 }. [/mm]
Stimmt das oder hab ich nen Fehler gemacht?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Ah ok, also bekomm ich doch dann
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0}*\vektor{ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 }[/mm]
> Richtig?
>
> Wenn das so wäre, dann würde ich als EW ja
> [mm]\lamda_{1,2}=0, \lambda_3=i[/mm] und [mm]\lambda_4=-i[/mm] bekommen.
>
> Damit wäre meine EV: [mm]v_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, v_2[/mm]
> wäre der Nullvektor welcher damit erstmal entfällt,
> [mm]v_3=\vektor{ i \\ -1 \\ -i \\ 1 }[/mm] und [mm]v_4=\vektor{ -i \\ -1 \\ i \\ 1 }.[/mm]
>
> Stimmt das oder hab ich nen Fehler gemacht?
Nun, Du hast ja erst 3 Lösungen des Systems, da Du
3 Eigenvektoren, die vom Nullvektor verschieden sind, gefunden hast.
Wir brauchen aber noch eine 4. Lösung.
Genauer eine 2. linear unabhängige Lösung zum Eigenwert 0.
Diese findest Du, wenn Du den Ansatz
[mm]\vec{a}+\vec{b}*t[/mm]
machst.
>
> Gruß Leipziger
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Hallo,
sooooo nun hoffe ich das stimmt auch alles, war ziemlich mistig.
bei a) habe ich für [mm] C_1=-ln(e^t+1), C_2=2(e^t-ln(e^t+1))
[/mm]
bei b)
der vierte Vektor ist [mm] v_4=\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und damit komme ich dann auf mein
[mm] C_1=-(7/3t^3+cos(t)+t*sin(t))
[/mm]
[mm] C_2=7/2t^2+sin(t)
[/mm]
[mm] C_3=1/2(7ie^{-it}t+1/2*cos(t)sin(t)+1/2*t+1/2*i*cos^2(t))
[/mm]
[mm] C_4=1/2(-7ie^{it}*t+7e^{it}+1/2*cos(t)sin(t)+1/2t-1/2*i*cos^2(t))
[/mm]
Also, ich hoffe einfach nur das es stimmt, war ne sehr verzwickte Rechnung. Berechnet hab ichs mit der Formel
[mm] C_k=\integral\bruch{det\phi_k}{det\phi}{f(t) dx}
[/mm]
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Hallo Leipziger,
> Hallo,
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> sooooo nun hoffe ich das stimmt auch alles, war ziemlich
> mistig.
>
> bei a) habe ich für [mm]C_1=-ln(e^t+1), C_2=2(e^t-ln(e^t+1))[/mm]
Stimmt.
>
> bei b)
>
> der vierte Vektor ist [mm]v_4=\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] und
> damit komme ich dann auf mein
>
> [mm]C_1=-(7/3t^3+cos(t)+t*sin(t))[/mm]
> [mm]C_=7/2t^2+sin(t)[/mm]
Die Störfunktion lautet doch
[mm]7t-3*\cos\left(t\right)[/mm]
Damit wird aus
[mm]C_{2}=7t-3*\cos\left(t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow C_{2}=\bruch{7}{2}t^{2}\red{-3}\sin\left(t\right)[/mm]
Daher stimmt dann auch [mm]C_{1}[/mm] nicht.
> [mm]C_3=1/2(7ie^{-it}t+1/2*cos(t)sin(t)+1/2*t+1/2*i*cos^2(t))[/mm]
>
> [mm]C_4=1/2(-7ie^{it}*t+7e^{it}+1/2*cos(t)sin(t)+1/2t-1/2*i*cos^2(t))[/mm]
>
> Also, ich hoffe einfach nur das es stimmt, war ne sehr
> verzwickte Rechnung. Berechnet hab ichs mit der Formel
>
> [mm]C_k=\integral\bruch{det\phi_k}{det\phi}{f(t) dx}[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet.
Gruss
MathePower
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