Dgl, bitte helfen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:08 So 01.11.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Definieren Sie eine Funktion f derart, dass sich folgende Differentialgleichungen in die Form y'(x)=f(x,y(x)) schreiben lassen und untersuchen Sie f auf Lipschitzstetigkeit in y.
[mm] a)(1-x^2)y' [/mm] - xy + 1 = 0, |x|<1
b)x'' + 5x' + 2x = cos(t)
c) [mm] \begin{cases} y_1' = -y_1 + \frac{1}{x} y_2 \\ y_2' = (1 - x)y_1 + y_2 \end{cases} [/mm] x>0
|
Hallo.
Das ist schon mein zweiter Versuch hier und ich hoffe mir kann jemand
helfen...
Ich bin mir bei meinen Lösungsansätzen nicht sicher:
zu a)
y'(x) = f(x,y(x)) = [mm] \frac{xy(x)-1}{1-x^2}
[/mm]
Lipschitzstetigkeit erfüllt, denn:
[mm] |f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))|=...=|\frac{x}{1-x^2}||y_1(x)-y_2(x)| [/mm] definiere Lipschitzkonstanze L:= [mm] sup\{|\frac{x}{1-x^2}\}, [/mm] |x|<1
geht das so?
zu b)
Rückführung auf Dgl 1. Ordnung:
[mm] y_1(t):=x(t)
[/mm]
[mm] y_2(t):=x'(t)
[/mm]
F(t,x(t),x'(t)):=x''(t)
Dann ist [mm] $y'(t)=f(t,y(t))=\vektor{y_2(t)\\F(t,y_1(t),y_2(t)}$
[/mm]
wenn ich hier auf Lipschitzstetigkeit überprüfen will, kommen sehr lange Terme raus und ich finde die Verbindung nicht:
[mm] $|f(t,\overline{y}(t))-f(t,\tilde y(t))|=\sqrt{(\overline{y}_2(t)-\tilde y_2(t))^2+(-5\overline{y}_2(t)-2 \overline{y}_1(t)+5 \tilde y_2(t) + 2 \tilde y_1(t))^2}= ...?????....\le L\cdot{}|\overline{y}(t) [/mm] - [mm] \tilde [/mm] y(t)|$
wie geht das?
zu c)
[mm] $y'(x)=f(x,y(x))=\vektor{-y_1(x)+\bruch{1}{x}y_2(x)\\(1-x)y_1(x)+y_2(x)}$
[/mm]
stimmt das? wie geht das hier mit der Lipschitzstetigkeit?
grüße, moerni
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 01.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moerni!
Du hast diese Frage bereits hier gestellt. Bitte unterlasse in Zukunft derartige Doppelposts.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 So 01.11.2009 | | Autor: | moerni |
Entschuldigung.
Ja, das ist mir klar, dass ich die Frage schon mal ins Forum gestellt habe. Aber ich warte schon lange auf eine Antwort und brauche sie dringend. Ich habe gedacht, weil die Frage schon länger im Forum steht, dass sie nicht mehr gesehen wird und deswegen habe ich sie nochmal reingestellt. Außerdem habe ich ja eine weitere Frage dazu gestellt.
Ich hoffe sehr, dass mir bald geholfen wird.
grüße, moerni
|
|
|
|
