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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Dgl 2
Dgl 2 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dgl 2: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Mi 12.09.2007
Autor: polyurie

Aufgabe
Gegeben sei die Differentialgleichung:

[mm] (u')^{2}-9u^{2}=4 [/mm]

Mit dem Anfangswert [mm] u_{0}=0 [/mm] und [mm] u_{0}'>0 [/mm]

a) Ermitteln Sie eine Potenzreihendarstellung fur [mm] u_{t} [/mm] bis zum 4. nichtverschwindenden Glied der Reihe.

b) Durch implizites Differenzieren und Division durch u' läßt sich eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für u aufstellen. Ermitteln Sie auf diesem Weg die exakte Lösung für das Anfangswertproblem.

Hi,

   ich hab bei Aufgabenteil b) Probleme. a)hat gefunzt.

Was bisher geschah:

Implizites Diferenzieren:

2u'*u''-18u*u'=0

Division durch u':

2u''-18u=0

dann hab ich gleich noch durch 2 geteilt:

u''-9u=0

charakteristisches Polynom:

[mm] \lambda^{2}-9=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}=3 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=-3 [/mm]

Lösungsgesamtheit der homogenen DGL:

[mm] y=A*e^{3x}+B*e^{-3x} [/mm]

So, jetzt das AWP:

[mm] y_{0}=0 [/mm]
0=A+B

[mm] y'=3Ae^{3x}-3e^{-3x} [/mm]
y'_{0}>0
0>3A-3B

So jetzt macht mir das Lösen des Gleichungssystems Ärger. Bzw. weiß mit dem Ungleichheitszeichen nicht so recht umzugehen. Die Lösung ist [mm] u_{(t)}=\bruch{2}{3}sinh(3t). [/mm]
Ich hoffe mir kann jemand helfen! Danke!!!!!

LG
Stefan

        
Bezug
Dgl 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Mi 12.09.2007
Autor: rainerS

Hallo Stefan!

> Gegeben sei die Differentialgleichung:
>  
> [mm](u')^{2}-9u^{2}=4[/mm]
>  
> Mit dem Anfangswert [mm]u_{0}=0[/mm] und u'_{0}>0
>  
> a) Ermitteln Sie eine Potenzreihendarstellung fur [mm]u_{t}[/mm] bis
> zum 4. nichtverschwindenden Glied der Reihe.
>  
> b) Durch implizites Differenzieren und Division durch u'
> läßt sich eine lineare Differentialgleichung zweiter
> Ordnung für u aufstellen. Ermitteln Sie auf diesem Weg die
> exakte Lösung für das Anfangswertproblem.
>  Hi,
>  
> ich hab bei Aufgabenteil b) Probleme. a)hat gefunzt.
>  
> Was bisher geschah:
>  
> Implizites Diferenzieren:
>  
> 2u'*u''-18u*u'=0
>  
> Division durch u':
>  
> 2u''-18u=0
>  
> dann hab ich gleich noch durch 2 geteilt:
>  
> u''-9u=0
>  
> charakteristisches Polynom:
>  
> [mm]\lambda^{2}-9=0[/mm]
>  [mm]\lambda_{1}=3[/mm] ; [mm]\lambda_{2}=-3[/mm]
>  
> Lösungsgesamtheit der homogenen DGL:
>  
> [mm]y=A*e^{3x}+B*e^{-3x}[/mm]
>  
> So, jetzt das AWP:
>  
> [mm]y_{0}=0[/mm]
>  0=A+B
>  
> [mm]y'=3Ae^{3x}-3e^{-3x}[/mm]
>  [mm]y'_{0}>0[/mm]
>  [mm]0>3A-3B[/mm]

Umgekehrt: [mm]3A-3B> 0[/mm] oder: [mm]A>B[/mm].

> So jetzt macht mir das Lösen des Gleichungssystems Ärger.
> Bzw. weiß mit dem Ungleichheitszeichen nicht so recht
> umzugehen.

Du hast doch aus der Anfangsbedingung: B=-A, also lässt sich die Lösung schreiben:
[mm]u = A*e^{3x}-A*e^{-3x} = 2A\sinh(3x)[/mm].

Aus der Ungleichung folgt [mm]A>-A[/mm], also [mm]A>0[/mm].

Und jetzt setzt du deine Lösung in die ursprüngliche DGL ein.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Dgl 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:11 Do 13.09.2007
Autor: polyurie

erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Aber ich hab das noch nicht ganz gerafft.

Hab das jetzt so gemacht:

[mm] u'=3Ae^{3x}+3Ae^{-3x} [/mm] in die DGL [mm] u'^{2}-9u^{2}=4 [/mm] eingesetzt und nach u umgestellt. Dann mit der Anfangsbedingung [mm] u^{(0)}=0 [/mm] nach A aufgelöst. So bekomme ich aber [mm] \bruch{1}{3} [/mm] für A raus. Was mach ich da noch falsch??

Also, hier mein Rechenweg:
[mm] (3Ae^{3x}+3Ae^{-3x})^{2}-9u^{2}=4 [/mm]
nach u aufgelöst:
[mm] u=\pm \wurzel{\bruch{4-(3Ae^{3x}+3Ae^{-3x})^{2}}{9}} [/mm]
und für u(0)=0 bekomm ich dann [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

Ich hoffe mit kann jemand helfen! Danke!!!!!!!!!!!!

Gruß Stefan

Bezug
                        
Bezug
Dgl 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:16 Do 13.09.2007
Autor: polyurie

Oh, mir ist eben aufgefallen das die Lösung [mm] A=\bruch{1}{3} [/mm] goldrichtig ist. Entschuldigung falls ich für Verwirrung gesorgt habe. Und nochmal danke für die Hilfe!!!

Bezug
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