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| Aufgabe | | Sei n = [mm] a_{k-1}a_{k-2}...a_{0} [/mm] eine Dezimalzahl. Zeigen Sie, dass n genau dann durch 9 teilbar ist, wenn die Quersumme [mm] a_{k-1} [/mm] + [mm] a_{k-2} [/mm] + ... + [mm] a_{0} [/mm] durch 9 teilbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hallo,
ich komme nicht recht weiter bei der einen Beweisrichtung: Sei n = [mm] a_{k-1}...a_{0} [/mm] durch 9 teilbar, d.h. es gibt ein m, so dass 9m = n = [mm] a_{k-1}..a_{0}. [/mm] Nun kann man n (da Dezimalzahl) auch darstellen als
9m = [mm] a_{k-1}*10^{k-1} [/mm] + ... + [mm] a_{0}
[/mm]
also
m = [mm] (a_{k-1}*10^{k-1} [/mm] + ... + [mm] a_{0})/9.
[/mm]
Aber reicht das schon, um zu sagen, dass 9 auch die Quersumme teilt. Bin gerade wie zugemauert.
Für einen Tip wäre ich dankbar.
Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Di 10.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Steffen,
am besten DU rechnest modulo 9. D.h. eine ganze Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn sie modulo 9 gleich 0 ist. Nützlich wird sein, dass [mm] 10^k=1 [/mm] (mod 9) gilt.
Volker
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| Aufgabe | | Ich bin mir nicht sicher, meinst du es so? |
Mein Computer war gecrasht, deswegen melde ich mich erst jetzt. Vielen Dank schon mal für den Tip.
Mit der Behauptung gilt also
0 = [mm] (a_{k}...a_{1})mod9
[/mm]
= [mm] (a_{k}*10^{k-1} [/mm] + .. + [mm] a_{1}*10^{0})mod9
[/mm]
/denn n ist Dezimalzahl
= [mm] [(a_{k}*10^{k-1})mod9 [/mm] + ... + [mm] (a_{1}*10^{0})mod9]mod9
[/mm]
/ aus Rechenregeln mod
= [mm] [(a_{k}mod9*10^{k-1}mod9)mod9 [/mm] + .. + [mm] (a_{1}mod9*10^{0}mod9)mod9]mod9
[/mm]
/ auch aus Rechenregeln
= [mm] [(a_{k}mod9*1)mod9 [/mm] + .. + [mm] (a_{1}mod9*1)mod9]mod9
[/mm]
/denn [mm] 10^{k}mod9 [/mm] = 1
= [mm] [(a_{k}mod9)mod9 [/mm] + .. + [mm] (a_{1}mod9)mod9]mod9
[/mm]
= [mm] [(a_{k}mod9 [/mm] + ... + [mm] a_{1}mod9]mod9 [/mm]
/ denn [mm] (a_{k}mod9)mod9 [/mm] = [mm] a_{k}mod9
[/mm]
= [mm] [a_{k} [/mm] + .. + [mm] a_{1}]mod9
[/mm]
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Ja. Volker
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Hallo Volker,
nebenbei eine Frage: Ist dadurch nicht schon die Äquivalenz der Aussagen bewiesen?
Nochmal Danke,
Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Sa 14.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffen,
> nebenbei eine Frage: Ist dadurch nicht schon die Äquivalenz
> der Aussagen bewiesen?
ja: da beide Ausdruecke modulo 9 gleich sind, ist der eine genau dann 0 modulo 9, wenn der andere 0 modulo 9 ist.
LG Felix
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