Determinate berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe:
Zeigen Sie:
[mm] det(\pmat{a^2+1&ab&ac\\ab&b^2+1&bc\\ac&bc&c^2+1}) [/mm] = [mm] a^2+b^2+c^2+1
[/mm]
Nun kann ich das natürlich mit der "Gartenzaunregel" (Sarrus'sche Regel) berechnen, aber vielleicht geht es auch noch sinnvoller? Bekomme ich das halbwegs vernünftig auf eine obere Dreiecksmatrix? Also so, dass ich nicht jeden Schritt im Kopf machen muss?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Ach ja, mit der Leibniz-Formel ginge es natürlich auch, aber das kommt erst im nächsten Kapitel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 13.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo!
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> Folgende Aufgabe:
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> Zeigen Sie:
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> [mm]det(\pmat{a^2+1&ab&ac\\ab&b^2+1&bc\\ac&bc&c^2+1})[/mm] =
> [mm]a^2+b^2+c^2+1[/mm]
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> Nun kann ich das natürlich mit der "Gartenzaunregel"
> (Sarrus'sche Regel) berechnen, aber vielleicht geht es auch
> noch sinnvoller? Bekomme ich das halbwegs vernünftig auf
> eine obere Dreiecksmatrix? Also so, dass ich nicht jeden
> Schritt im Kopf machen muss?
Ich habe etwas herumexperimentiert, aber ist ist nichts einfacheres dabei herausgekommen, als es doch einfach mit der Brute-Force-Methode zu rechnen, also mit der Gartenzaunregel.
Etwas einfacher ging es allerdings mit dem Entwickeln nach der 1. Zeile, aber das willst du ja noch nicht anwenden, und so viel Einsparung hat sich wirklich nicht ergeben!
Paul
P.S. ich lasse die Frage mal als unbeantwortet stehen, vielleicht gibt es ja doch noch eine Abkürzung, die ich einfach nicht zu sehen imstande bin!
Vor allem muss ja auch beachtet werden, dass Fallunterscheidungen nötig werden können, wenn du "geeignete Vielfache" von Zeilen zu anderen addieren willst (man darf ja bekanntlich nicht durch Null dividieren). Daher bin ich skeptisch, ob die zweizeilige Gartenzaunrechnung wirklich unterboten werden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Di 13.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane,
> Zeigen Sie:
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> [mm]det(\pmat{a^2+1&ab&ac\\ab&b^2+1&bc\\ac&bc&c^2+1})[/mm] =
> [mm]a^2+b^2+c^2+1[/mm]
man kann ja Vielfache von Zeilen/Spalten zu einer anderen Zeile/Spalte addieren, ohne den Wert der Determinante zu verändern.
Auf diese Weise kommst du auf eine Determinante der Form
[mm] $\det\pmat{a^2+1&ab&ac\\ab&b^2+1&bc\\ac&bc&c^2+1}$
[/mm]
(geeignetes Vielfache der dritten Zeile zur 2. Zeile addieren, dann ein geeignetes Vielfaches der dritten Zeile zur 1. Zeile addieren)
[mm] $=\det\pmat{1&0&\cdot\\0&1&\cdot\\ac&bc&c^2+1}$
[/mm]
Nun addierst du ein ein geeignetes Vielfaches der 1. Zeile zu 3., und ein weiteres der 2. Zeile zur 3. Zeile und erhältst:
[mm] $=\det\pmat{1&0&\cdot\\0&1&\cdot\\0&0&a^2+b^2+c^2+1}$
[/mm]
Probier's mal 
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Wenn du die Einheitsmatrix abziehst, siehst du (mit einem Blick, ohne Rechnung), dass die entstehende Matrix Rang 1 hat. Daraus folgt, dass $1$ zweifacher Eigenwert ist. Wegen [mm] $Spur(A)=a^2+b^2+c^2+3$ [/mm] muss der dritte Eigenwert [mm] $a^2+b^2+c^2+1$ [/mm] sein. Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Di 13.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Stefan
ich wusste doch, dass es einen Geniestreich geben muss! Dieses mal hast du mich eindeutig übertrumpft! Super!!! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
