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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 21.04.2008 | | Autor: | semaJ |
| Aufgabe | a)
Gegeben ist die Matrix
[mm]A= \pmat{ a+1 & a & 3 & 2-a \\ a+2 & 2 & 8 & a \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ -a & -1 & a-5 & 1-a \\}[/mm]
Gesucht sind alle [mm]a \in \IR[/mm] für die [mm]det(A)=0[/mm] gilt.
b)
Zeigen Sie: [mm]det(B)=0[/mm] für
[mm]B = \pmat{ (a + b)^2 & (a+b)(a-b) & (a-b)^2 \\ 2(a^2 + ab + b^2) & 2a^2 + b^2 & 2(a^2 + b^2) \\ a^2 + b^2 & a^2 + 2b^2 & (a + b)^2 }[/mm] |
Lösung a):
Entwicklung nach der [mm]j=2[/mm] Spalte.
[mm](-1)^{1+2} \ detA_{12} + (-1)^{2+2} \ detA_{22} + (-1)^{3+2} \ detA_{32} + (-1)^{4+2} \ detA_{42}[/mm]
[mm]A_{12}=\pmat{ a+2 & 8 & a \\ 2 & 3 & 1 \\ -a & a-5 & 1-a }[/mm]
[mm]A_{22}= \pmat{ a+1 & 3 & 2-a \\ 2 & 3 & 1 \\ -a & a-5 & 1-a}[/mm]
[mm]A_{32}= \pmat{ a+1 & 3 & 2-a \\ a+2 & 8 & a \\ -a & a-5 & 1-a }[/mm]
[mm]A_{42}= \pmat{ a+1 & 3 & 2-a \\ a+2 & 8 & a \\ 2 & 3 & 1 }[/mm]
[mm]detA_{12} = (a+2)3(1-a) - 8a + 2a(a - 5) + 3a^2 - (a - 5)(a + 2) - 16(1 - a)[/mm]
[mm]detA_{12} = -3a^2 + 3 - 8a + 2a^2 - 10a + 3a^2 - a^2 + 3a + 10 - 16 + 16a [/mm]
[mm]detA_{12} = a^2 - 3 + a [/mm]
[mm]detA_{22} = 3(a+1)(1-a)-3a+2(2-a)(a-5)+3a(2-a)-(a-5)(a+1)-6(1-a) [/mm]
[mm]detA_{22} = -3a^2 + 3 - 3a - 2a^2 + 14a - 20 - 3a^2 + 6a - a^2 + 4a + 5 - 6 + 6a [/mm]
[mm]detA_{22} = -7a^2 + 27a - 18 [/mm]
[mm]detA_{32} = 8(a+1)(1-a)-3a^2 +(2-a)(a+2)(a-5)+8a(2-a)-(a-5)a(a+1)- (1 - a)(a + 2)3 [/mm]
[mm]detA_{32} = -8a^2+8-3a^2-a^3+5a^2+4a-20+16a-8a^2-a^3+4a^2+5a+3a^2+3a-6 [/mm]
[mm]detA_{32} = -7a^2 + 28a - 18 [/mm]
[mm]detA_{42} = 8(a + 1) + 6a + (2 - a)(a + 2) - 16(2 - a) - 3a(a + 1) - 3(a + 2) [/mm]
[mm]detA_{42} = 14a + 8 - a^2 + 4 - 32 + 16a - 3a^2 - 3a - 3a - 6 [/mm]
[mm]detA_{42} = -4a^2 + 24a + 6 [/mm]
[mm] detA = -a^2 + 3 - a - 7a^2 + 27a - 18 + 7a^2 - 28a + 18 - 4a^2 + 24a + 6 [/mm]
[mm] detA = -5a^2 + 22a + 9 [/mm]
[mm] gesucht \ ist \ detA = 0 = -5a^2 + 22a + 9 [/mm]
[mm] 0 = a^2 - \bruch{22}{5} a - \bruch{9}{5} [/mm]
[mm] a_{1,2} = \bruch{44}{5} \pm \wurzel{\left(\bruch{22}{5}\right)^2 + \bruch{9}{5}} = \bruch{44}{5} \pm \wurzel{\bruch{529}{25}} = \bruch{44}{5} \pm \bruch{23}{5} [/mm]
[mm] a_1 = \bruch{67}{5} [/mm]
[mm] a_2 = \bruch{21}{5}[/mm]
Lösung b):
[mm]B = \pmat{ a^2 + 2ab + b^2 & a^2 - b^2 & a^2 - 2ab + b^2 \\ a^2 + b^2 & a^2 + 2b^2 & a^2 + 2ab + b^2 \\ a^2 + b^2 & a^2 + 2b^2 & a^2 + 2ab + b^2 }[/mm]
Zeilen 2 und 3 sind identisch, daher hat die Matrix keinen vollen Rang; det(B) = 0.
Sind die Lösungen korrekt?
Was genau bedeutet "Zeilen 2 und 3 sind identisch, daher hat die Matrix keinen vollen Rang; det(B) = 0." ?
gruß
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Hallo!
Tut mir leid, ich habe deine Rechnung von a) nicht ganz nachvollzogen, die Untermatrizen scheinen jedenfalls zu stimmen.
Deine 4x4-Matrix habe ich mal meinen Rechenknecht vorgeworfen, dieser bescheinigt mir jedoch [mm] det(A)=a^3-3a^2+2a
[/mm]
Zu b)
Wie kommst du auf diese Aumforumung der Matrix B?
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