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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich habe eine mehr oder weniger allgemeine Frage zum Thema Determinanten: Wie kann ich durch Zeilen- oder Spaltenumformungen einer 4x4 Matrix die Determinante der Matrx bestimmen.
Ich finde leider nur Beispiele von 3x3 Matrizen, die mir allerdings im weitesten Sinne klar sind.
Ich habe zum Beispiel die folgende Matrix, deren Determinante ich bestimmen will:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ -3 & 2 & -3 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -1 \\ -2 & 4 & -6 & 1 }
[/mm]
Es wäre schön, wenn mir da jemand ein bisschen weiter helfen könnte.
Liebe Grüße
Jasmin
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, Jasmin,
bring sie durch "Gauß" auf Hauptdiagonalform ( darüber und darunter nur 0en )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
aber was kann ich dann damit anfangen, wenn ich diese Zeilenstufenform habe? Wie kann ich dann die Determinante erkennen?
LG
Jasmin
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Die Det. ergibt sich dann,
aus der Entwichlung nach Unterdeterminanten der 1ten Zeile,
einfach als das Produkt der Haupdiagonalelemete.
Lösung im Anhang ( :) with compliments from texmacs and MuPAD :) )
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Friedrich!
Die letzten Schritte waren aber doch überflüssig, oder?
Es genügt doch die Matrix auf obere Dreiecksgestalt zu bringen, danach ändern sich die Diagonalelemente ja nicht mehr...
Viele Grüße
Stefan
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Danke für den Hinweis, Stefan,
hast natürlich recht, aber so ist es einsichtiger. Solche Rechnerein
sollten im Ernstfall / Praxis sowieso einem Computer überlassen werden
wie hier geschehen (und daher keine Mühe war), man sollte nur wissen, wie zu rechnen ist.
Gruß F.
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Hallo Ihr, Hallo Jasmin,
also ich habe das bisher auch so gemacht, dass ich die Matrix auf obere Dreiecksform gebracht habe und dann die Determinante ausgerechnet habe, indem ich
[mm] \produkt_{i=1}^{n} x_{nn}
[/mm]
berechnet habe. Also gerade das Produkt aller Komponenten der Diagonalen.
Jetzt die Frage:
Lässt sich jede Matrix auf die Form bringen, dass außer der Diagonalen alle Einträge komplett 0 sind?
In diesem Beispiel ging das ja sehr gut, aber ich frage mich ob das immer geht?
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das geht bei jeder quadratischen Matrix! 
Das ist das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:34 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Man sollte vielleicht noch darauf hinweisen, dass nicht jede Matrix sich in diese Diagonal-Form bringen lässt und nicht einmal garantiert ist, dass man obere Dreiecksgestalt erhält. Ein Grund, warum ich dieses Verfahren quasi fast nicht verwende...
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Ich weiß jetzt nicht genau, was du meinst, aber es lässt sich auf jeden Fall jede Matrix in Zeilenstufenform überführen, so dass man bei einer $(n [mm] \times [/mm] n)$-Matrix mit diesem Verfahren die Determinante berechnen kann.
(siehe etwa Fischer, Lineare Algebra, 11. Auflage, Seite 25, Abschnitt 0.4.7)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 So 06.02.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo nochmal,
jetzt habe ich das alles verstanden, denke ich zumindest... Vielen Dank für deine / eure Bemühungen.
An die Tatsache, dass ich die Determinante dann aus der Diagonalen bestimmen kann, habe ich gar nicht gedacht, weil ich - wie schon erwähnt - nur Beispiele von maximal 3x3 Matrizen gesehen habe und mir nicht sicher war, inwieweit ich das hier Gelernte auf größere Matrizen anwenden kann.
Vielen Dank nochmal!
Jasmin
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