Determinante von (nxn)-Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 19.12.2007 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | Für beliebige [mm] x\inK [/mm] berechne die Determinante der folgenden (n [mm] \times [/mm] n)-Matrix:
[mm] \pmat{ x & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & x & 1 & ... & 1 \\ \\ 1 & 1 & 1 & ... & x }
[/mm]
(In der alle Hauptdiagonalglieder gleich x und alle sonstigen Koeffizienten gleich 1 sind) |
Hi!
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, aber weiß nicht so recht, wie ich's angehen soll!
Was ich mir schon überlegt habe:
Falls x = 1 ist, so ist die Determinante ja schon = 0, da der Rang nicht mehr = n ist. Den Fall könnte man ja so schonmal festhalten, da er eine Ausnahme bildet, denke ich.
Jetzt weiss ich allerdings nicht genau, wie ich weitermachen soll. Laplace bzw. Entwicklung nach Spalte/Zeile wüsste ich nicht anzuwenden, zumal es sich ja um keine Matrix mit festem n handelt. Muss ich das ganze etwa irgendwie durch Induktion beweisen?
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Die Matrix hat doch mit Sicherheit auch einen speziellen Namen, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke ;)
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> Für beliebige [mm]x\inK[/mm] berechne die Determinante der folgenden
> (n [mm]\times[/mm] n)-Matrix:
> [mm]\pmat{ x & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & x & 1 & ... & 1 \\ \\ 1 & 1 & 1 & ... & x }[/mm]
>
> (In der alle Hauptdiagonalglieder gleich x und alle
> sonstigen Koeffizienten gleich 1 sind)
> Hi!
>
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, aber weiß nicht so
> recht, wie ich's angehen soll!
>
> Was ich mir schon überlegt habe:
> Falls x = 1 ist, so ist die Determinante ja schon = 0, da
> der Rang nicht mehr = n ist. Den Fall könnte man ja so
> schonmal festhalten, da er eine Ausnahme bildet, denke
> ich.
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> Jetzt weiss ich allerdings nicht genau, wie ich
> weitermachen soll. Laplace bzw. Entwicklung nach
> Spalte/Zeile wüsste ich nicht anzuwenden,
Du könntest vor der Entwicklung zuerst einmal von jeder Zeile die nachfolgende Zeile subtrahieren: dadurch ändert sich bekanntlich der Wert der Determinante nicht. Die resultierende Determinante hat (für die Entwicklung nach der ersten Spalte) erfreulich viele Nullen. - Besser noch: die Determinante, die nach der Streichung der ersten Spalte und ersten Zeile übrig bleibt, hat auf dieselbe Weise erfreulich viele Nullen usw. usf.
> zumal es sich ja
> um keine Matrix mit festem n handelt.
Zugegeben: dies ist ein Problem - vor allem, wenn der Prof. pedantisch genug ist, auf Induktion nach $n$ (anstelle eines mehr saloppen Arguments) zu bestehen.
> Muss ich das ganze
> etwa irgendwie durch Induktion beweisen?
Wenn man ganz furchtbar korrekt sein will schon. Aber wer will in einem solchen Falle schon furchtbar korrekt sein wollen?
Nachtrag (Revision 1): Vielleicht wäre ein Beweis durch Induktion doch nicht so schlecht. Ist [mm] $D_n$ [/mm] der Wert der fraglichen Determinante, so ist [mm] $D_1=x$, $D_2=(x+1)(x-1)$ [/mm] und [mm] $D_3=(x+2)(x-1)^2$, [/mm] aufgrund der oben angedeuteten Umformung von [mm] $D_n$ [/mm] und Entwickeln nach der ersten Spalte müsste eigentlich [mm] $D_{n+1}=(x-1)D_n+(x-1)^n$ [/mm] gelten. Allerdings benötigt man dann noch eine passende "Vermutung" für die allgemeine Lösung dieser Differenzengleichung, etwa [mm] $D_n=(x+n-1)(x-1)^{n-1}$
[/mm]
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