Determinante von n x n Matriz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 19.12.2007 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Berechne die Determinanten der folgenden beiden n x n Matrizen
(das Resultat hängt von n ab). |
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & .. & 0 & 1 \\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \\ .... \\ 0 & 1 & .... & 0 & 0 \\ 1 & 0 & ... & 0 & 0 }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ .... \\ 0 & 0& .... & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Nun zu meiner Frage:
Habe mir erstmal einige n freigewählt um ein Ergebnis abschätzen zu können.
Bei A habe ich n=3, n= 4 und n = 5 berechnet:
Det A ist dann sofern ich mich nicht verrechnet habe:
bei n= 3 det ()= -1
bei n= 4 det () = 1
bei n = 5 det() = 1
Nur wie schreibe ich dies allgemein auf?
zur B
n=3 => det ()=0
n=4 => det ()= 1
n=5 => det ()= 0
n=6 => det ()=-1
Selbe Frage wie oben
Bin für jeden Tip dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 19.12.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Bei A -> einfach Zeile 1 und n; Zeile 2 und n-1 usw. vertauschen. Dann hast du floor(n/2) Mal getauscht. Je nachdem, ob floor(n/2) gerade, oder ungerade ist [mm] detA=\pm [/mm] 1.
(floor(m) ist m abgerundet.)
Bei B ähnlich, nur mit Spaltenvertauschen. Es sei denn [mm] b_{n-1,n}=1, [/mm] wie du in der schematischen Darstellung geschrieben hast. Aber ich glaube da hast du dich vertippt.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 19.12.2007 | | Autor: | damien23 |
Danke für die Antwort. Habe die B mit vollständiger Induktion gezeigt. War dann recht leicht.
Verstehe aber deinen Ansatz bei der A nicht, vielleicht kannst du ihn ein wenig genauer erklären. was ist die floor Funktion. Das ist doch eine Treppenfunktion oder?
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Hallo damien23,
Die floor-Funktion, auch Gaußklammer $[x]$ oder Entier-Funktion ordnet jeder Zahl x die nächst kleinere ganze Zahl zu (--> Abrundung, wie dormant schon geschrieben hat)
zB. $[1,6]=1$ oder $[-4,1]=-5$ oder $[3]=3$
Und ja, das ist eine Treppenfunktion...
Nun gibt es ja einige Rechenregeln für Determinanten - ![[]](/images/popup.gif) hier mal eine schöne Zusammenfassung im pdf-Format.
Immer, wenn du zwei Spalten vertauschst, ändert die Determinante ihr Vorzeichen.
Außerdem kennst du die Determinante der Einheitsmatrix, die ist 1
Allg. ist die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.
Hier kannst du munter Spalten tauschen nach dem Schema, das dormant schon angesagt hat, die 1. Spalte mit der n.Spalte, die 2.Spalte mit der (n-1).Spalte usw..
Damit überführst du die Matrix in die Einheitsmatrix, die ja det=1 hat
Je nachdem, ob $n$ nun gerade oder ungerade ist, bleibt eine mittlere Spalte übrig (wenn n ungerade ist), die schon richtig steht oder du musst die 2 benachbarten Spalten [mm] $\frac{n}{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{n}{2}+1$ [/mm] tauschen.
Dementsprechend oft ändert die Determinante ihr Vorzeichen.
Das kannst du entweder für n gerade/ungerade getrennt aufschreiben oder "etwas eleganter" mit der Gaußklammer....
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:36 Do 20.12.2007 | | Autor: | damien23 |
danke für den tip, jetzt ist es klarer
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