Determinante über Eigenwerte < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 24.05.2007 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | | Berechne die Determinante von [mm] A:=(a_{ij}) \in M(n x n, \IR), a_{ii}=x [/mm] und [mm]a_{ij}=y [/mm] für [mm](i \not= j)[/mm]. |
Als Tipp ist angegeben, dass man die Determinante am besten über die Eigenwerte ausrechnet [mm](det(A) = \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i})[/mm].
Weiß nur nicht wie auf die EW kommen soll.. Über das charakteristische Polynom wohl nicht denke ich..
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> Berechne die Determinante von [mm]A:=(a_{ij}) \in M(n x n, \IR), a_{ii}=x[/mm]
> und [mm]a_{ij}=y[/mm] für [mm](i \not= j)[/mm].
> Als Tipp ist angegeben, dass
> man die Determinante am besten über die Eigenwerte
> ausrechnet [mm](det(A) = \produkt_{i=1}^{n} \lambda_{i})[/mm].
> Weiß
> nur nicht wie auf die EW kommen soll.. Über das
> charakteristische Polynom wohl nicht denke ich..
Hmm. Das wäre auch seltsam. Für das char. Polynom brauchst Du ja eigentlich die Determinante. Ich denke, Du solltest das ganze induktiv aufziehen.
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 24.05.2007 | | Autor: | Hollo |
Hi Karsten,
was soll ich induktiv machen? Das direkte berechnen der Determinante?
Ich hatte eigentlich gedacht, dass es hier irgendeinen Trick gibt um die EW zu bekommen.. Sonst wär der Tipp ja nicht Sinnvoll.
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Hallo Hollo! ( <- praktischer Nick, Copy&Paste  )
> was soll ich induktiv machen? Das direkte berechnen der
> Determinante?
> Ich hatte eigentlich gedacht, dass es hier irgendeinen
> Trick gibt um die EW zu bekommen.. Sonst wär der Tipp ja
> nicht Sinnvoll.
Also das mit den EWs verstehe ich eigentlich nicht. Die berechnet man ja übers char. Polynom. Aber Du brauchst den Tip ja auch nicht benutzen. Du könntest mal schauen, was für einen Determinante bei einer 1x1-, dann 2x2- und 3x3- ggf. auch 4x4-Matrix dieses Typs rauskommt. Da findest Du ganz bestimmt eine Formel, die Du dann für alle n per Induktion beweisen kannst. Die Berechnung der Determinante einer nxn-Matrix kann man ja auch induktiv machen (Laplace'scher Entwicklungssatz).
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Do 24.05.2007 | | Autor: | Hollo |
Hi, danke erstmal!
Ja die Formel hab ich auch schon.. Leider sieht der Induktionsbeweis nicht so problemlos aus.. Ich versuchs erstmal weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Do 24.05.2007 | | Autor: | Hollo |
Hallo nochmal..
Ich glaube mit Induktion und Laplace ist es nicht oder nur schwer möglich die Determinante zu berechnen.. Hab die Matrix jetzt auf Diagonalgestalt gebracht (unter Verwendung der Determinantenregeln) und dann die Diagonaleinträge multipliziert.
Gruß
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