Determinante einer nxn Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und A [mm] \in {-1,1}^{nxn} \subseteq \IZ^{nxn}. [/mm] Zeige, dass die Determinante von A eine ganze Zahl ist, die von [mm] 2^{n-1} [/mm] geteilt wird. |
Hallo,
Ich weiß, wie ich die Determinante einer nxn Matrix berechnen kann, wenn ich eine habe. Ich habe versucht die Aufgabe durch Induktion zu lösen. Indem ich es erst für n=1 gezeigt habe und dann versucht habe, für n+1 zu lösen. Bin allerdings nicht zum Ziel gekommen. Ist das der richtige Weg oder wie gehe ich an die Aufgabe ran?
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und A [mm]\in {-1,1}^{nxn} \subseteq \IZ^{nxn}.[/mm]
Soll das bedeuten, dass [mm] a_{ij}\in\{-1;1\} [/mm] mit [mm] i,j\le{n} [/mm] ist? Ich vermute natürlich: ja.
> Zeige, dass die Determinante von A eine ganze Zahl ist, die
> von [mm]2^{n-1}[/mm] geteilt wird.
> Hallo,
>
> Ich weiß, wie ich die Determinante einer nxn Matrix
> berechnen kann, wenn ich eine habe. Ich habe versucht die
> Aufgabe durch Induktion zu lösen. Indem ich es erst für
> n=1 gezeigt habe und dann versucht habe, für n+1 zu
> lösen. Bin allerdings nicht zum Ziel gekommen. Ist das der
> richtige Weg oder wie gehe ich an die Aufgabe ran?
Ich würde sagen, ja. Nur deine Beschreibung der vollständigen Induktion hört sich für mich etwas abenteuerlich an. Der Induktionsanfang n=1 ist möglich, aber trivial. Man könnte auch mit n=2 beginnen. Aber das nur am Rande.
Der Induktionschluss besteht nicht einfach darin, das ganze für n+1 zu zeigen, sondern da muss natürlich die Annahme, dass es für n stimmt, verwendet werden. Insofern erinnert mich das ganze an einen gewissen Laplace. Aber einen Lösungsweg zu diskutieren macht eigentlich erst dann Sinn, wenn du uns noch sagst, wie genau du den Induktionsschluss denn nun angesetzt hast?
Vielleicht beginnst du mal mit dem Fall n=2 und versuchst probehalber, daraus den Fall n=3 abzuleiten in der Hoffnung, irgendein Schema zu erkennen...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Also wenn ich n=2 wähle, müsste ich doch für den Induktionsanfang für alle 16 verschiedenen 2x2 Matritzen zeigen, oder?
Weil wenn ich nur eine auswähle, reicht das doch nicht, da es dann nur ein Beispiel ist.
Ich hab trotzdem mal damit angefangen, es für eine 2x2 Matrix zu zeigen. Anschließend hab ich genau diese 2x2 Matrix genommen und hab noch eine Zeile und eine Spalte hinzugefügt.
Mit der Laplace Regel entstehen anschließend daraus 3 2x2 Matritzen, die entweder ein + oder - als Vorzeichen haben und von denen 2 gleich sind wie die zuvor gewählte 2x2 Matrix. Also natürlich nur, wenn man das ganze nach der letzten Spalte Entwickeln lässt.
Aber irgendwie erkenne ich da kein Schema bzw. wie mir das weiter hilft.
Kannst du mir nochwas dazu sagen?
|
|
|
| |
|
> Also wenn ich n=2 wähle, müsste ich doch für den
> Induktionsanfang für alle 16 verschiedenen 2x2 Matritzen
> zeigen, oder?
Hallo,
zuerst mal lernen wir, daß es "Matrizen" heißt.
Hat nichts mit Lakritzen und Matratzen zu tun.
Matritzen sind etwas völlig anderes als Matrizen.
Du kannst das natürlich für die 16 Matrizen zeigen und hast dann einen Induktionsanfang.
Ich würd lieber mal für [mm] \pmat{ a & b \\ c & d} [/mm] die Determinante ausrechnen, und mir überlegen, welche Ergebnisse es für [mm] a,b,c,d\in [/mm] {1,-1} geben kann.
> Weil wenn ich nur eine auswähle, reicht das doch nicht, da
> es dann nur ein Beispiel ist.
Stimmt!
> Ich hab trotzdem mal damit angefangen, es für eine 2x2
> Matrix zu zeigen. Anschließend hab ich genau diese 2x2
> Matrix genommen und hab noch eine Zeile und eine Spalte
> hinzugefügt.
> Mit der Laplace Regel entstehen anschließend daraus 3 2x2
> Matritzen, die entweder ein + oder - als Vorzeichen haben
> und von denen 2 gleich sind wie die zuvor gewählte 2x2
> Matrix. Also natürlich nur, wenn man das ganze nach der
> letzten Spalte Entwickeln lässt.
> Aber irgendwie erkenne ich da kein Schema bzw. wie mir das
> weiter hilft.
> Kannst du mir nochwas dazu sagen?
Ohne es zu sehen, ist das schwer für mich.
LG Angela
>
|
|
|
|
