Determinante einer Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mal wieder so einen blöden Beweis zu führen.
Sei [mm] A_{n} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & a & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ b & 0 & a & ... & 0 & 0 &0 \\ 0 & b & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ ..... \\ 0 & 0 & 0 & ... & b & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & b & 0}
[/mm]
Beweisen Sie: det [mm] (A_{n}) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ (-ab)^{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Also für n=2 und n=3 ist das ja klar. Wenn man das als Induktionsanfang nimmt, wie kann ich dann den Induktionsschritt wählen? Über die Leibnizformel.
Vielleicht habt ihr einen Ansatzpunkt für mich.
Grüße Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Steffen!
Sagt dir der Begriff der Entwicklung nach einer Zeile/Spalte etwas? Ist [mm] $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in \IK^{n\times n}$, [/mm] so ist [mm] $det(A)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} [/mm] det [mm] (A_{ij})$ [/mm] (Entwicklung nach der $j$-ten Spalte) und [mm] $det(A)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} [/mm] det [mm] (A_{ij})$ [/mm] (Entwicklung nach der $i$-ten Zeile). Dabei ist [mm] $A_{ij}$ [/mm] die [mm] $(n-1)\times [/mm] (n-1)$-Matrix über [mm] $\IK$, [/mm] die aus $A$ durch Streichen der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte erhalten wird.
Zur Herleitung der dir gegebenen Formel kannst du nun [mm] $A_n$ [/mm] zuerst nach der ersten Spalte entwickeln; wendest du dabei obige Formel an, bleibt wegen der vielen Nullen nur ein Summand, nämlich [mm] $a_{21} det(A_{21})=-b det(A_{21})$ [/mm] übrig. Die Determinante von [mm] $A_{21}$ [/mm] bestimmst du nun über Entwicklung nach der ersten Zeile und erhältst dafür als Determinante $a [mm] det(A_{21,12})$ [/mm] ( Matrix A ohne 1.,2. Zeile & Spalte ) - diese Determinante ist aber genau [mm] $A_{n-2}$. [/mm] Daher ist [mm] $A_{n} [/mm] = -ab [mm] det(A_{n-2})$ [/mm] und die zu beweisende Gleichung folgt sofort.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 16.11.2005 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Hanno,
ich kenne die Operationen. Du hast bei mir das sprcihwörtliche Brett vor dem Kopf entfernt.
Danke für den Tip
Grüße Steffen
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