Determinante berechnen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen sie die Determinante der Matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ 3 & 10 & 18 & 24 & 30 \\ 4 & 14 & 27 & 40 & 50 \\ 5 & 18 & 36 & 56 & 75 } [/mm] |
Hi
so dann hab ich erstmal die Matrix geschickter Umgeformt:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & -6 & -3 & 0 & 0 \\ -10 & -12 & -9 & -4 & 0 }
[/mm]
dann habe ich den laplacescher entwicklungssatz angewendet:
A= 5* det [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 0 \\ -6 & -3 & -3 & 0 \\ -10 & -12 & -9 & -4 } [/mm]
und dann steht in der Lösung einfch 5* (-1) * (-2) * (-3) * (-4) also quasi einfach 5 mal die Diagonale?? wieso darf ich das hier so machen und wann darf man das generell so machen?
ich kenn halt die "normale" rechenform wenn man 3 mal 3 matrize hat und davon dann quasi das kreuzprodukt nimmt um die Determinante zu erhalten? aber wann kann man den trick hier mit der diagonalen anwenden? wenn oderball nur Nullen stehen und geht das auch wenn z.b. nur Nullen unterhalt der diagonale stehen??
freu mich auf eine rettende Hand :)
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mi 20.04.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Berechnen sie die Determinante der Matrix
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> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ 3 & 10 & 18 & 24 & 30 \\ 4 & 14 & 27 & 40 & 50 \\ 5 & 18 & 36 & 56 & 75 }[/mm]
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> Hi
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> so dann hab ich erstmal die Matrix geschickter Umgeformt:
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & -6 & -3 & 0 & 0 \\ -10 & -12 & -9 & -4 & 0 }[/mm]
>
> dann habe ich den laplacescher entwicklungssatz
> angewendet:
> A= 5* det [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 0 \\ -6 & -3 & -3 & 0 \\ -10 & -12 & -9 & -4 }[/mm]
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> und dann steht in der Lösung einfch 5* (-1) * (-2) * (-3)
> * (-4) also quasi einfach 5 mal die Diagonale?? wieso darf
> ich das hier so machen und wann darf man das generell so
> machen?
> ich kenn halt die "normale" rechenform wenn man 3 mal 3
> matrize hat und davon dann quasi das kreuzprodukt nimmt um
> die Determinante zu erhalten? aber wann kann man den trick
> hier mit der diagonalen anwenden? wenn oderball nur Nullen
> stehen und geht das auch wenn z.b. nur Nullen unterhalt der
> diagonale stehen??
Naja, wenn du die allgemeine Berechnungsformel für die Determinante kennst, dann siehst du, daß dort alle Summanden = 0 sind außer dem einen, in dem die Diagonalelemente miteinander multipliziert werden.
Oder du formst weiter um und bringst durch Manipulation mit den Zeilen auch die Elemente unterhalb der Diagonalen auf 0.
Also: Die Determinante einer solchen Dreiecksmatrix ist einfach das Produkt der Diagonalelemente. Liegt das Dreieck anders, kommt noch das Vorzeichen ins Spiel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
Danke Dieter !!!
d.h. immer wenn ich eine Matrix habe in der entweder oberhalb oder unterhalb der hauptdiagonalen Nullen stehen, kann ich die Methode anwenden? nur um sicher zu gehen :)
und was meinst du noch mit Vorzeichen? wann muss ich da was ändern?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 21.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> d.h. immer wenn ich eine Matrix habe in der entweder
> oberhalb oder unterhalb der hauptdiagonalen Nullen stehen,
> kann ich die Methode anwenden? nur um sicher zu gehen :)
ja, immer dann geht es.
> und was meinst du noch mit Vorzeichen? wann muss ich da was
> ändern?
Wenn du z.B. folgendes Dreieck hast: [mm] $\pmat{ 0 & 0 & a \\ 0 & b & c \\ d & e & f }$, [/mm] dann ist die Determinante gleich $-a b d$: du muesstest zwei Spalten tauschen, um es auf ein "einfaches" Dreieck wie oben zurueckzufuehren, und diese Vertauschung aendert das Vorzeichen. Hast du eine groessere Matrix und kannst die Spalten irgendwie permutieren, um ein "einfaches" Dreieck (also obere oder untere Dreiecksmatrix) zu bekommen, dann musst du die Determinante von dem einfachen Dreieck mit dem Signum der Permutation multiplizieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Do 21.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Naja, wenn du die allgemeine Berechnungsformel für die
> Determinante kennst, dann siehst du, daß dort alle
> Summanden = 0 sind außer dem einen, in dem die
> Diagonalelemente miteinander multipliziert werden.
alternativ kann man auch noch Laplace verwenden: erst nach der ersten Zeile entwickeln, dann nach der ersten Zeile von der Determinante die uebrigbleibt etc., bis man nur noch die Determinante einer $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix hat.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Okay. Danke Felixf!
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