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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Do 28.01.2010 | | Autor: | Krischy |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Determinante det (A) [mm] \pmat{ 4 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] |
So wie ich das verstanden habe, muss ich jetzt aus dieser (4x4) Matrix, 16 unterdeterminanten bilden. das habe ich gemacht :
(a11) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 1
( Natürlich habe ich die ersten beiden Spalten noch daneben geschrieben und dass dann mit hilfe der Regel von Sarrus berechnet, weiß nur nicht wie ich das hier anschaulich darstellen soll)
(a12) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 1
(a13) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 0
(a14) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = 0
(a21) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 1
(a22) = [mm] \pmat{ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 7
(a23) = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 1
(a24) = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = 0
(a31) = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 2
(a32) = [mm] \pmat{ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 3
(a33) = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1& -1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = 1
(a34) = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = 0
(a41) = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 } [/mm] = 11
(a42) = [mm] \pmat{ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 } [/mm] = 15
(a43) = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] = 3
(a44) = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] = 1
so jetzt habe ich ja die Determinanten für die 16 Unterdeterminanten, weiß aber nicht wie ich jetzt auf die Determinante der (4x4) Matrix kommen soll. ich weiß dass die determinante 1 ist, ich hoffe mir kann hier jemand helfen. Danke schon mal. Vielleicht gibt es ja auch eine Kürzere Methode, diese hier dauert ziemlich lange...
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> Berechnen sie die Determinante det (A) [mm]\pmat{ 4 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
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> So wie ich das verstanden habe, muss ich jetzt aus dieser
> (4x4) Matrix, 16 unterdeterminanten bilden. das habe ich
> gemacht :
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> (a11) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 1
> ( Natürlich habe ich die ersten beiden Spalten noch
> daneben geschrieben und dass dann mit hilfe der Regel von
> Sarrus berechnet, weiß nur nicht wie ich das hier
> anschaulich darstellen soll)
>
> (a12) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 1
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> (a13) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 0
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> (a14) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] = 0
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> (a21) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 1
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> (a22) = [mm]\pmat{ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 7
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> (a23) = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 1
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> (a24) = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] = 0
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> (a31) = [mm]\pmat{ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 2
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> (a32) = [mm]\pmat{ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 3
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> (a33) = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1& -1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] = 1
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> (a34) = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] = 0
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> (a41) = [mm]\pmat{ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 }[/mm] = 11
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> (a42) = [mm]\pmat{ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 }[/mm] = 15
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> (a43) = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm] = 3
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> (a44) = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm] = 1
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> so jetzt habe ich ja die Determinanten für die 16
> Unterdeterminanten, weiß aber nicht wie ich jetzt auf die
> Determinante der (4x4) Matrix kommen soll. ich weiß dass
> die determinante 1 ist, ich hoffe mir kann hier jemand
> helfen. Danke schon mal. Vielleicht gibt es ja auch eine
> Kürzere Methode, diese hier dauert ziemlich lange...
Hallo,
Du warst sehr fleißig und hast es schön aufgeschreiben, Deine Determinanten habe ich nicht einzeln geprüft.
Du hättest nur (max.) 4 Unterdeterminanten benötigt.
Wenn Du nach der 1. Zeile entwickelst (siehe: Laplace-Entwicklung), bekommst Du
det [mm] A=(-1)^{1+1}*4det(A_1_1) +(-1)^{1+2}*3det(A_1_2) [/mm] + [mm] (-1)^{1+3}* 1det(A_1_3) +(-1)^{1+4}* 2det(A_1_4)= [/mm] kannst Du selbst ausrechnen.
Egal, nach welcher Zeile oder Spalte Du entickelst, es sollte immer dasselbe rauskommen, kannst ja probieren.
Wenn man schlau ist, sucht man sich Zeilen oder Spalten aus mit vielen Nullen, hier die letzte Zeile.
Man bekommt:
det(A)= 0 +0 +0 [mm] +(-1)^{4+4}*1*det(A_4_4)=1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 28.01.2010 | | Autor: | Krischy |
okay danke dir, wenn ich eine (5x5) matrix habe, reichen dann auch 4 unterdeterminanten?
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> okay danke dir, wenn ich eine (5x5) matrix habe, reichen
> dann auch 4 unterdeterminanten?
Hallo,
nein, natürlich nicht! Deine Zeile bzw. Spalten haben dann doch 5 Einträge, also brauchst Du 5 Unterdeterminanten.
Gruß v. Angela
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