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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Attila |
| Aufgabe | Hallo, ich habe eine Matrix , die $n [mm] \times [/mm] n$ ist, ich werde es aber der Übersicht halber auf [mm] $5\times [/mm] 5$ beschränken (weil ich mit der Pünktchenschreibweise noch nicht zurechtkomme). Ich soll nun die Determinante berechnen von dieser Matrix:
[mm] $\pmat{ a&1&1&1&1\\ 1&a&1&1&1 \\ 1&1&a&1&1\\ 1&1&1&a&1\\ 1&1&1&1&a}$.
[/mm]
Nun ist zz., dass für die [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix A mit der obigen Gestalt folgendes gilt:
[mm] $det(A)=(a-1)^{n-1}(a+n-1)$. [/mm] |
Hi,
meine Frage ist nun, wie ich den Induktionsschritt angehen kann, weil ich da irgendwie keine Regelmäßigkeiten erkenne. Ich habe jetzt nach der ersten Zeile entwickelt, soweit sogut, allerdings kriege ich dann Streichmatrizen raus, für die ich keine Ahnung habe, wie ich die Determinante berechnen soll, weil das a wild springt.
Viele Dank für eure Hilfe,
Attila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
> Hallo, ich habe eine Matrix , die [mm]n \times n[/mm] ist, ich werde
> es aber der Übersicht halber auf [mm]5\times 5[/mm] beschränken
> (weil ich mit der Pünktchenschreibweise noch nicht
> zurechtkomme). Ich soll nun die Determinante berechnen von
> dieser Matrix:
> [mm]\pmat{ a&1&1&1&1\\ 1&a&1&1&1 \\ 1&1&a&1&1\\ 1&1&1&a&1\\ 1&1&1&1&a}[/mm].
>
> Nun ist zz., dass für die [mm]n\times n[/mm] Matrix A mit der
> obigen Gestalt folgendes gilt:
> [mm]det(A)=(a-1)^{n-1}(a+n-1)[/mm].
> Hi,
> meine Frage ist nun, wie ich den Induktionsschritt angehen
> kann, weil ich da irgendwie keine Regelmäßigkeiten
> erkenne. Ich habe jetzt nach der ersten Zeile entwickelt,
> soweit sogut, allerdings kriege ich dann Streichmatrizen
> raus, für die ich keine Ahnung habe, wie ich die
> Determinante berechnen soll,
Aber da kannst du doch dann deine Induktionsvorraussetzung anwenden
> weil das a wild springt.
> Viele Dank für eure Hilfe,
> Attila
Am besten du postest mal was du bisher hast dann kann man dir besser Helfen!!
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:14 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Attila |
Hi,
ich kann das für die Streichmatrix [mm] $A_{11}$ [/mm] anwenden (die Induktionsvoraussetzung), allerdings für den Rest nicht, denn z.B. ist
[mm] $A_{13}=\pmat{ 1&a&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&a&1 \\ 1&1&1&a}$ [/mm] (die Streichmatrix, die ich nach streichen der 1 Zeile und 3.Spalte bekomme) und deswegen weis ich nicht weiter.
LG,
Attila
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Mußt du das per Induktion machen? Es geht doch auch ganz ohne.
Erst alle Spalten ab der zweiten zur ersten addieren. Dann ist jedes Element der ersten Spalte gleich [mm]a+n-1[/mm]. Also kann man den Faktor [mm]a+n-1[/mm] vor die Determinante ziehen, und die erste Spalte besteht jetzt aus lauter Einsen. Die zweite bis [mm]n[/mm]-te Spalte sind noch die alten. Dann die neue erste Spalte von der zweiten, von der dritten und so weiter bis schließlich von der [mm]n[/mm]-ten subtrahieren. Dann bekommt man eine untere Dreiecksmatrix mit [mm]1,a-1,a-1,\ldots,a-1[/mm] in der Hauptdiagonalen. Fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Attila |
Danke, das hat mir super geholfen.
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