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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Determinante Matrix 4x4
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Determinante Matrix 4x4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Mo 31.03.2008
Autor: ebarni

Hallo zusammen, für Matrizen bis Größe 3x3 kenne ich zur Berechnung der Determinante folgende Formel:

det [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm] = [mm] a_{11}*a_{22}*a_{33} [/mm] + [mm] a_{12}*a_{23}*a_{31} [/mm] + [mm] a_{13}*a_{21}*a_{32} [/mm] - [mm] a_{13}*a_{22}*a_{31} [/mm] - [mm] a_{11}*a_{23}*a_{32} [/mm] - [mm] a_{12}*a_{21}*a_{33} [/mm]

Gibt es eine solche Formel auch für 4x4-Matrizen?

Viele Grüße, Andreas

        
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Determinante Matrix 4x4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mo 31.03.2008
Autor: blascowitz

Guten Morgen

na ja "geben" tuts so eine Formel auch, man kann sie sich aus der Leibnitzschen Determinatentenformel herleiten. Allerdings hätte die Formel dann 24 Terme da ich ja über alle Permutation aus [mm] S_{4} [/mm] laufen muss und das sind $4!$ also 24 Stück.
Ich denke das entwickeln nach zeile oder Spalte einfacher ist. Man kann die Matrix durch Zeilentransformationen umformen(so ändert das hinzuaddieren eines vielfachen einer zeile zu einer anderen Zeile die determinante ja nich) um dann eine zeile bzw spalte mit vielen nullen zu haben und nach der entwickelt man dann.
Einen schönen tach noch
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Determinante Matrix 4x4: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Mo 31.03.2008
Autor: ebarni

Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort!

Gibt es vielleicht noch die Möglichkeit, dass ich die 4x4-Matrix in zwei 3x3-Matrizen umwandle und dann eine "einfachere" Berechnung der Determinante habe?


> Ich denke das entwickeln nach zeile oder Spalte einfacher
> ist. Man kann die Matrix durch Zeilentransformationen
> umformen(so ändert das hinzuaddieren eines vielfachen einer
> zeile zu einer anderen Zeile die determinante ja nich) um
> dann eine zeile bzw spalte mit vielen nullen zu haben und
> nach der entwickelt man dann.

Diesen Algorithmus kenne ich zur Lösung des Gleichungssystems. Jetzt fehlt mir noch der Zusammenhang zur Determinante.

Viele Grüße, Andreas
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Determinante Matrix 4x4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Mo 31.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Gibt es vielleicht noch die Möglichkeit, dass ich die
> 4x4-Matrix in zwei 3x3-Matrizen umwandle und dann eine
> "einfachere" Berechnung der Determinante habe?
>  
>

Ja. das macht man mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz.
> > Ich denke das entwickeln nach zeile oder Spalte einfacher
> > ist. Man kann die Matrix durch Zeilentransformationen
> > umformen(so ändert das hinzuaddieren eines vielfachen einer
> > zeile zu einer anderen Zeile die determinante ja nich) um
> > dann eine zeile bzw spalte mit vielen nullen zu haben und
> > nach der entwickelt man dann.
>  
> Diesen Algorithmus kenne ich zur Lösung des
> Gleichungssystems. Jetzt fehlt mir noch der Zusammenhang
> zur Determinante.
>
> Viele Grüße, Andreas

Ich gebe dir mal ein Beispiel:

Zu Berechnen ist die Determinante der folgenden Matrix [mm] \pmat{1 & 2 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 3}. [/mm] Nun entwickeln wir zum Beispiel nach der 2. Zeile. Warum? Weil diese 2 Nullen enthält. :-)

Dann folgt:

[mm] det\pmat{1 & 2 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 3}=(-1)\cdot det\pmat{2 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & 3}-2\cdot det\pmat{1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3} [/mm] Und nun kannst du entweder die Determinante der 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix mit der üblichen Formel berechnen oder noch einmal entwickeln. Ich entwickle noch einmal zur Übung nach der 3. Zeile und 2. Zeile da wir dort noch  0'en stehen haben.
[mm] \Rightarrow (-1)\cdot((-1) det\pmat{-2 & 3 \\ 4 & 1}+3 det\pmat{2 & -2 \\ 1 & 4})-2(det\pmat{1 & 1 \\ -1 & 3}+det\pmat{2 & 3 \\ 1 & 1})=-14-3\cdot [/mm] 10-2 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] +(-2)\cdot(-1)=-50 [/mm]

Hier noch etwas Literatur:

[guckstduhier] []Laplacescher Entwicklungssatz

[cap] Gruß
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Determinante Matrix 4x4: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Mo 31.03.2008
Autor: ebarni

Liebe Bastiane, vielen lieben Dank für Dein schönes Beispiel, das hat mir sehr weitergeholfen. ;-)

Liebe Grüße, Andreas
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Determinante Matrix 4x4: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Mo 31.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo ebarni!

> Liebe Bastiane, vielen lieben Dank für Dein schönes
> Beispiel, das hat mir sehr weitergeholfen. ;-)
>  
> Liebe Grüße, Andreas

Das freut mich dass dir mein Beispiel weitergeholfen hat, aber ich bin nicht Bastiane ;-)^^

[cap] Gruß

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Determinante Matrix 4x4: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:58 Di 01.04.2008
Autor: ebarni

Hallo Tyskie,

sorry für die Verwechslung [keineahnung] wie das passieren konnte.

Hoffe Du bist nicht böse mit mir, ich bin [bindafuer]

Dann wäre ich sehr [happy]

Liebe Grüße, Andreas
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