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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 30.03.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix $ A [mm] \in Gl_{n\times n}(\IQ) [/mm] $ mit ganzzahligen Einträgen.
Zeige: $ Ax=b $ hat genau dann [mm] \forall b\in\IZ^n [/mm] eine Lösung [mm] x\in\IZ^n, [/mm] wenn [mm] det(A)=\pm1 [/mm] |
Genaue Aufgabenstellung habe ich nur rekonstruiert. Falls was nicht passt, einfach melden.
Wäre nett wenn jemand hier drüber gucken und sagen könnte, ob richtig oder falsch. :)
Also setzen wir für die Hin-Richtung vorraus: A hat nur Einträge [mm] \in \IZ, [/mm] weiter sei [mm] b\in\IZ^n [/mm] und [mm] x\in \IZ^n. [/mm] Dachte hier direkt an die Cramersche Regel:
[mm] x_i [/mm] = [mm] \bruch{det(A_i)}{det(A)}, [/mm] wobei [mm] A_i [/mm] die Matrix bezeichnet, die entsteht, wenn man Spalte i von A mit dem Lösungsvektor b vertauscht.
Für [mm] x_i [/mm] muss gelten: [mm] x_i \in \IZ, [/mm] da [mm] x\in \IZ^n [/mm] .. also auch [mm] \bruch{det(A_i)}{det(A)}\in\IZ
[/mm]
Für jedes b [mm] \in \IZ^n [/mm] hat [mm] A_i [/mm] eine andere Determinante, damit also für alle b eine Lösung [mm] x\in \IZ^n [/mm] existiert, muss [mm] det(A)=\pm1 [/mm] gelten, also [mm] x_i=\bruch{det(A_i)}{\pm1} [/mm] da sonst [mm] x_i\in\IQ [/mm] gelten würde, was der Voraussetzung widerspricht. [mm] \Box
[/mm]
Rückrichtung dürfte genauso funktionieren? Setze [mm] det(A)=\pm1 [/mm] vorraus, damit folgt: [mm] x_i=\bruch{det(A_i)}{\pm1} [/mm] und weiter [mm] x_i \in \IZ \gdw x\in \IZ^n.
[/mm]
Passt das so?
Vielen Dank schonmal! :]
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Hallo chesn,
> Gegeben sei die Matrix [mm]A \in Gl_{n\times n}(\IQ)[/mm] mit
> ganzzahligen Einträgen.
> Zeige: [mm]Ax=b[/mm] hat genau dann [mm]\forall b\in\IZ^n[/mm] eine Lösung
> [mm]x\in\IZ^n,[/mm] wenn [mm]det(A)=\pm1[/mm]
> Genaue Aufgabenstellung habe ich nur rekonstruiert. Falls
> was nicht passt, einfach melden.
> Wäre nett wenn jemand hier drüber gucken und sagen
> könnte, ob richtig oder falsch. :)
>
> Also setzen wir für die Hin-Richtung vorraus: A hat nur
> Einträge [mm]\in \IZ,[/mm] weiter sei [mm]b\in\IZ^n[/mm] und [mm]x\in \IZ^n.[/mm]
> Dachte hier direkt an die Cramersche Regel:
>
> [mm]x_i[/mm] = [mm]\bruch{det(A_i)}{det(A)},[/mm] wobei [mm]A_i[/mm] die Matrix
Schreibe hier:
[mm]x_{i}=\left( \ \operatorname{det}\left(A\right) \ \right)^{-1}*\operatorname{det}\left(A_{i}\right)[/mm]
Daraus ergibt sich doch, daß [mm]\operatorname{det}\left(A\right)[/mm] in [mm]\IZ[/mm] invertierbar sein muss,
und das ist nur der Fall, wenn ...
.
> bezeichnet, die entsteht, wenn man Spalte i von A mit dem
> Lösungsvektor b vertauscht.
>
> Für [mm]x_i[/mm] muss gelten: [mm]x_i \in \IZ,[/mm] da [mm]x\in \IZ^n[/mm] .. also
> auch [mm]\bruch{det(A_i)}{det(A)}\in\IZ[/mm]
> Für jedes b [mm]\in \IZ^n[/mm] hat [mm]A_i[/mm] eine andere Determinante,
> damit also für alle b eine Lösung [mm]x\in \IZ^n[/mm] existiert,
> muss [mm]det(A)=\pm1[/mm] gelten, also [mm]x_i=\bruch{det(A_i)}{\pm1}[/mm] da
> sonst [mm]x_i\in\IQ[/mm] gelten würde, was der Voraussetzung
> widerspricht. [mm]\Box[/mm]
>
> Rückrichtung dürfte genauso funktionieren? Setze
> [mm]det(A)=\pm1[/mm] vorraus, damit folgt:
> [mm]x_i=\bruch{det(A_i)}{\pm1}[/mm] und weiter [mm]x_i \in \IZ \gdw x\in \IZ^n.[/mm]
>
> Passt das so?
>
> Vielen Dank schonmal! :]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mi 30.03.2011 | | Autor: | chesn |
In [mm] \IZ [/mm] invertierbar ist nur die [mm] \pm1.. [/mm] danke. :)
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