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Es geht darum, dass die Determinante von
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms sein soll, dass die Vektoren
[mm] \vektor{a \\ c} [/mm] und [mm] \vektor{b \\ d}
[/mm]
aufspannen.
Ich würde das gerne mal nachrechnen. Allerdings bekomme ich das nicht hin, bzw. bei der Formel "Grundseite mal Höhe" kann ich die Höhe nicht berechnen.
Gibt es irgendeinen einfachen Weg, wie man den Flächeninhalt ausrechnen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Di 20.07.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mach dir mal eine Zeichung eines Parallelosgramms, wo die Vektoren [mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{a \\ c}$ [/mm] und [mm] $\vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{b \\ d}$ [/mm] die Grundseiten aufspannen.
Dann kann man zB den Winkel zwischen [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ $\phi$ [/mm] nennen. Dann kann man sich die Hoehe einzeichnen, und dann mit Hilfe des [mm] $\sin\phi$ [/mm] und dem Betrag von [mm] $\vec{b}$ [/mm] die Hoehe ausrechnen.
Mit $A = [mm] \text{Grundseite}\cdot\text{Hoehe}$ [/mm] kann man dann, wenn man als Grundseite den Vektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] meint, eine direkte Formel fuer den Flaecheninhalt mit Hilfe des [mm] $\sin\phi$ [/mm] hinschreiben.
Wenn man sich dann daran erinnert, dass der Betrag des Kreuzproduktes [mm] $|\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] = [mm] |\vec{a}||\vec{b}|\sin\phi$ [/mm] ist, und dann den $2$-dim Vektor als [mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{a \\c\\0}$ [/mm] schreibt, und dann das Kreuzprodukt hinschreibt, wird man sehen, was das mit der Determinante deiner Matrix auf sich hat.
Also, das ist die grobe Skizze, mit der man das ausrechnen kann.
Fuer die Hoehe mach dir einfach eine Zeichnung, wo die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] zu einem Parallelogramm ergaenzt werden, Faelle das Lot von der "Spitze von [mm] \vec{b}" [/mm] auf die Grundseite, die hier der Vektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] darstellt, und druecke dann die Hoehe $h$ durch den Winkel zwischen [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] aus mit Hilfe des [mm] $\sin\phi$. [/mm] Dann stehts eigentlich, wenn man das mit dem Kreuzprodukt ausrechnet, genau da.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Di 20.07.2010 | | Autor: | Balendilin |
also ist die Fläche gerade die Norm des Kreuzproduktes (wobei ich die Vektoren erst in den 3-dimensionalen Raum einbetten muss)?!
> Dann kann man zB den Winkel zwischen [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm]
> [mm]\phi[/mm] nennen. Dann kann man sich die Hoehe einzeichnen, und
> dann mit Hilfe des [mm]\sin\phi[/mm] und dem Betrag von [mm]\vec{b}[/mm] die
> Hoehe ausrechnen.
Wie rechne ich denn den Sinus aus, wenn ich die Höhe noch gar nicht kenne?
Was ich natürlich machen kann, ist die Formel mit
[mm] |\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] = [mm] |\vec{a}||\vec{b}|\sin\phi
[/mm]
in die Formel "Sinus=Ankathete durch Hypothenuse" und dann in "Grundseite mal Höhe" einsetzen. Aber dann komme ich ja auch wieder auf's Kreuzprodukt.
Egal, jetzt weiß ich ja, was dahinter steckt.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 20.07.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das Kreuzprodukt ist doch nur ueber dem [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] definiert, also muss man die $2$-dim Vektoren 'kuenstlich' in den [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] einbetten.
Wenn man doch [mm] $\vec{a}$ [/mm] als Grundseite waehlt, ist doch [mm] $A=|\vec{a}|\cdot [/mm] h$ mit $h$ der Hoehe. Dann gilt doch, mit dem Sinus:
[mm] $\sin \phi [/mm] = [mm] \frac{h}{|\vec{b}|}$
[/mm]
man drueckt also die Hoehe durch bekanntere Groessen aus, weil man [mm] $\sin\phi$ [/mm] kennt und [mm] $|\vec{b}|$ [/mm] auch kennt.
Dann den [mm] $\sin$ [/mm] nach $h$ umstlelen, in $A$ einsetzen, das mit dem Kreuzprodukt identifizieren, und das Kreuzprodukt mit der Determinante der [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrix vergleichen.
LG
Kroni
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> Es geht darum, dass die Determinante von
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms sein soll,
> dass die Vektoren
>
> [mm]\vektor{a \\ c}[/mm] und [mm]\vektor{b \\ d}[/mm]
>
> aufspannen.
> Ich würde das gerne mal nachrechnen. Allerdings bekomme
> ich das nicht hin, bzw. bei der Formel "Grundseite mal
> Höhe" kann ich die Höhe nicht berechnen.
> Gibt es irgendeinen einfachen Weg, wie man den
> Flächeninhalt ausrechnen kann?
Hallo Balendilin,
du kannst dir dies alles auch ohne Rückgriff auf Trigonometrie,
Skalar- und Vektorprodukt klar machen, indem du dir eine
Zeichnung machst und dann den Flächeninhalt ermittelst,
indem du geeignete Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke
betrachtest !
LG Al-Chw.
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