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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass für eine Matrix [mm] A=(a_{ij})\in M(n\times [/mm] n; K) gilt: [mm] det(a_{ij})=det((-1)^{i+j}*a_{ij}).
[/mm]
Ich habe mir zwar schon überlegt, wann denn i+j gerade ist (dann steht da ja [mm] det(a_{ij})=det(a_{ij})) [/mm] und wann i+j ungerade ist, aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Hätte da jemand mal einen Ansatz für mich?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
versuche doch mal dieses:
Multipliziere die gegebene Matrix linksseitig und rechtsseitig mit der Matrix, die auf der Hauptdiagonalen abwechselnd mit -1 und +1 ausgestattet ist (von links oben nach rechts unten). Dann sollte aus der gegebenen Matrix der ersten Form jene der zweiten Form entstehen.
Und es gilt doch die Regel: det(AB) = det(A)*det(B).
Zum Beispiel mit n=4:
[mm] $\pmat{-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1}*\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}}*\pmat{-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1}=\pmat{a_{11}&-a_{12}&a_{13}&-a_{14}\\-a_{21}&a_{22}&-a_{23}&a_{24}\\a_{31}&-a_{32}&a_{33}&-a_{34}\\-a_{41}&a_{42}&-a_{43}&a_{44}}$
[/mm]
Ich hoffe, du kannst das etwas allgemeiner (mit beliebigem n) zeigen. Es sollte nur ein kleiner Tipp sein! 
Herzlichst
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
> versuche doch mal dieses:
>
> Multipliziere die gegebene Matrix linksseitig und
> rechtsseitig mit der Matrix, die auf der Hauptdiagonalen
> abwechselnd mit -1 und +1 ausgestattet ist (von links oben
> nach rechts unten). Dann sollte aus der gegebenen Matrix
> der ersten Form jene der zweiten Form entstehen.
>
> Und es gilt doch die Regel: det(AB) = det(A)*det(B).
>
> Zum Beispiel mit n=4:
>
> [mm]\pmat{-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1}*\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}}*\pmat{-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1}=\pmat{a_{11}&-a_{12}&a_{13}&-a_{14}\\-a_{21}&a_{22}&-a_{23}&a_{24}\\a_{31}&-a_{32}&a_{33}&-a_{34}\\-a_{41}&a_{42}&-a_{43}&a_{44}}[/mm]
>
> Ich hoffe, du kannst das etwas allgemeiner (mit beliebigem
> n) zeigen. Es sollte nur ein kleiner Tipp sein!
Aber damit ist die Aufgabe doch gelöst, oder? Für allgemeines n ist es doch dann genauso. Das Einzige, was man noch schreiben müsste, ist, falls n ungerade ist, ist die Determinante von der Matrix mit den Einsen und Minus-Einsen =-1. Da diese aber zweimal vorkommt, heben sich beide Minus wieder zu 1 auf. Bei geradem n kommt es ja genau so hin, wie du es hier im Beispiel gemacht hast. Es gilt ja dann: det(BAB)=det(B)*det(A)*det(B)=1*det(A)*1=det(A). (Im anderen Fall dann eben: det(BAB)=-1*det(A)*-1=det(A).)
Oder was meinst du, müsste man da noch allgemeiner zeigen?
Und noch eine Frage: Wie kommt man auf solch eine Lösung???
Viele Grüße
Christiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Lieber Paul!
>
> > versuche doch mal dieses:
> >
> > Multipliziere die gegebene Matrix linksseitig und
> > rechtsseitig mit der Matrix, die auf der Hauptdiagonalen
> > abwechselnd mit -1 und +1 ausgestattet ist (von links oben
> > nach rechts unten). Dann sollte aus der gegebenen Matrix
> > der ersten Form jene der zweiten Form entstehen.
> >
> > Und es gilt doch die Regel: det(AB) = det(A)*det(B).
> >
> > Zum Beispiel mit n=4:
> >
> >
> [mm]\pmat{-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1}*\pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}}*\pmat{-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1}=\pmat{a_{11}&-a_{12}&a_{13}&-a_{14}\\-a_{21}&a_{22}&-a_{23}&a_{24}\\a_{31}&-a_{32}&a_{33}&-a_{34}\\-a_{41}&a_{42}&-a_{43}&a_{44}}[/mm]
> >
> > Ich hoffe, du kannst das etwas allgemeiner (mit beliebigem
> > n) zeigen. Es sollte nur ein kleiner Tipp sein!
>
> Aber damit ist die Aufgabe doch gelöst, oder? Für
> allgemeines n ist es doch dann genauso. Das Einzige, was
Ja, es ist genau so. Aber mach das mal einem Mathematiker klar! der wird sagen: woher weisst du das? Das sollte irgendwie bewiesen werden. Ist es bei n=107836762516483 wirklich noch so? Es wäre also allgemein zu begründen, warum durch die Matrizenmultiplikationen aus [mm] $a_{ij}$ [/mm] ein [mm] $-a_{ij}$ [/mm] entsteht.
> man noch schreiben müsste, ist, falls n ungerade ist, ist
> die Determinante von der Matrix mit den Einsen und
> Minus-Einsen =-1. Da diese aber zweimal vorkommt, heben
> sich beide Minus wieder zu 1 auf. Bei geradem n kommt es ja
> genau so hin, wie du es hier im Beispiel gemacht hast. Es
> gilt ja dann:
> det(BAB)=det(B)*det(A)*det(B)=1*det(A)*1=det(A). (Im
> anderen Fall dann eben: det(BAB)=-1*det(A)*-1=det(A).)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau das hatte mir vorgeschwebt!
Nur stimmt ein kleines Detail noch nicht: die Determinante ist nicht für ungerade n -1, und für gerade n +1.
n=1 --> Det = -1
n=2 --> Det = -1
n=3 --> Det = +1
n=4 --> Det = +1
n=5 --> Det = -1
n=6 --> Det = -1
n=7 --> Det = +1
n=8 --> Det = +1
n=9 --> Det =-1
...
...
Klar?
Ich denke übrigens, man hätte diese Plus-Minus-Einsen-Matrix links oben auch mit +1 statt mit -1 starten können.
> Oder was meinst du, müsste man da noch allgemeiner zeigen?
>
Siehe oben.
> Und noch eine Frage: Wie kommt man auf solch eine
> Lösung???
>
Zu dieser Lösung hast du, liebe Christiane, mich inspiriert! Es ist also gar nicht mein Verdienst, sondern deines! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Du hattest ja kurz zuvor so eine Aufgabe zu lösen, wo die Geschichte mit den Basismatrizen vorkam. Man kann Zeilen- und Spaltenoperationen vornehmen, indem man die Matrix mit einer geeigneten Basismatrix multipliziert. Jenachdem, ob man rechtsseitig oder linksseitig multipliziert, werden Spalten- oder Zeilenoperationen vorgenommen.
Da habe ich mich einfach gefragt, ob man eine entsprechende 'Basis'-Matrix finden kann, welche die Elemente der vorgegebenen Matrix wie ein Schachbrett mit +1 resp. -1 multipliziert. Da kam natürlich die Idee mit dieser komischen +1/-1-Diagonalmatrix sofort. Und dann gings schnell: multipliziere jede 2. Zeile mit minus eins, und anschliessend jede 2. Spalte mit minus eins (das heisst also einfach rechtsseitig resp. linksseitig), dann sollte doch das gewünschte Schachbrettmuster entstehen. 
> Viele Grüße
> Christiane
>
>
Herzlichst
Paul
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