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| Aufgabe | Bn= (2 -2 0 0 .....0 0 0
-1 2 -1 0...... 0 0 0
0 -1 2 -1 ..... 0 0 0
. .
. .
. .
0 0 0 0 .... 2 -1 0
0 0 0 0 ... -1 2 -1
0 0 0 0 ... 0 -1 2 )
Man bestimme detBn für alle n Element N. |
Wie kann man denn bei so einer Matrix die Determinante bestimmen, also mit dem Laplaceschen-Entwicklungssatz zum Beispiel, aber wie kann ich denn diesen Satz auf diese Matrix übertragen?
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die genaue Aufgabenstellung lautete eigentlich so:
(1) Man finde mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes ganze Zahlen r, s derart,
dass detBn = r detBn−1 + s detBn−2 f¨ur alle n 3.
(2) Man bestimme detBn f¨ur alle n 2 N.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 05.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
kannst Du das ganze mal leserlich mit dem Formeleditor schreiben, dann kann man Dir leichter helfen. AUfjeden Fall auch besser, als zu raten was Du meinst.
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ja ich würde zwar sehr gerne damit schreiben, aber ich weiß nicht wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da fängt man doch mal mit den kleinsten [mm] B_n [/mm] an und sieht, wie das läuft. dann liegt ja wohl irgendwann - wie oft wenn was mit n geht induktion nahe.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Fr 07.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
durch ausrechnen von [mm] det(B_n) [/mm] für n=3,4,5 ergibt sich die Vermutung [mm] det(B_n)=n+1
[/mm]
Das muss man jetzt per Induktion beweisen. Entwickle die Determinante [mm] det(B_{n+1}) [/mm] nach der ersten Zeile, dann erhälst Du
[mm] det(B_{n+1})=2*det(B_n)+Rest
[/mm]
Den Rest nochmal nach der ersten Spalte entwickelen ergibt [mm] Rest=-det(B_{n-1}) [/mm] also zusammen
[mm] det(B_{n+1})=2*det(B_n)-det(B_{n-1}) [/mm] mit der IV folgt [mm] det(B_{n+1})=2*(n+1)-n=n+2 [/mm] also ist die Induktionsbehauptung bewiesen und Deine Zhalen r und s ergeben sich zu r=2 und s=-1
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