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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Fr 03.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo. Zusammen. Ich habe hier eien Frage zu einer Gleichung
[mm] (A^{adj})^{adj}=(detA)^{n-2} \*A
[/mm]
Ich habe die Vorlesung verpasst. Was ist hier gemeint und wie zeige ich es. Es sieht einfach aus, aber weiß ich nicht was die bedeuten. Es wäre nett wenn jemand mir hilft danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 03.06.2005 | | Autor: | NECO |
Das ist nicht der Anjunkte vom KOFAKTOR methode ne?
oder doch?
Wa man eine Zeile und eine Spalte streicht, uzw?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
Mit [mm] $A^{adj} \in \IK^{n \times n}$$ [/mm] bezeichnet man die Adjunkte zu einer $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$.
Es gilt:
[mm] $A^{adj}=c_{ij}$
[/mm]
mit
[mm] $c_{ij} [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} \det(A_{ji})$,
[/mm]
wobei [mm] $A_{ji}$ [/mm] diejenige [mm] $(n-1)\times(n-1)$-Matrix [/mm] ist, die durch Streichen der $j$-ten Zeile und $i$-ten Spalte von $A$ entsteht.
Man zeigt (das habt ihr in der Vorlesung sicherlich gemacht).:
(*) [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)} A^{adj}$,
[/mm]
also:
$A [mm] A^{adj} [/mm] = [mm] \det(A)\cdot E_n$.
[/mm]
Daraus kann man schließen:
[mm] $\det(A) \cdot \det(A^{adj}) [/mm] = [mm] (\det(A))^n$,
[/mm]
also:
[mm] $\det(A^{adj}) [/mm] = [mm] (\det(A))^{n-1}$.
[/mm]
Ebenso gilt nach (*):
[mm] $(A^{adj})^{adj} [/mm] = [mm] \det(A^{adj}) (A^{adj})^{-1}$
[/mm]
und
[mm] $(A^{adj})^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)}A$,
[/mm]
also:
[mm] $(A^{adj})^{adj} [/mm] = [mm] \det(A^{adj}) (A^{adj})^{-1} [/mm] = [mm] (\det(A))^{n-1}(A^{adj})^{-1} [/mm] = [mm] (\det(A))^{n-1} \cdot \frac{1}{\det(A)} [/mm] A = [mm] (\det(A))^{n-2}A$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 05.06.2005 | | Autor: | NECO |
> Hallo NECO!
>
> Mit [mm]$A^{adj} \in \IK^{n \times n}$$[/mm] bezeichnet man die
> Adjunkte zu einer $n [mm]\times[/mm] n$-Matrix $A$.
>
> Es gilt:
>
> [mm]A^{adj}=c_{ij}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]c_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ji})[/mm],
>
> wobei [mm]A_{ji}[/mm] diejenige [mm](n-1)\times(n-1)[/mm]-Matrix ist, die
> durch Streichen der [mm]j[/mm]-ten Zeile und [mm]i[/mm]-ten Spalte von [mm]A[/mm]
> entsteht.
>
> Man zeigt (das habt ihr in der Vorlesung sicherlich
> gemacht).:
>
> (*) [mm]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^{adj}[/mm],
>
> also:
>
> [mm]A A^{adj} = \det(A)\cdot E_n[/mm].
>
> Daraus kann man schließen:
>
> [mm]\det(A) \cdot \det(A^{adj}) = (\det(A))^n[/mm],
Wie kommt man hier? Wieso kann man daraus das obere schließen?
> also:
>
> [mm]\det(A^{adj}) = (\det(A))^{n-1}[/mm].
>
> Ebenso gilt nach (*):
>
> [mm](A^{adj})^{adj} = \det(A^{adj}) (A^{adj})^{-1}[/mm]
>
> und
>
> [mm](A^{adj})^{-1} = \frac{1}{\det(A)}A[/mm],
>
> also:
>
> [mm](A^{adj})^{adj} = \det(A^{adj}) (A^{adj})^{-1} = (\det(A))^{n-1}(A^{adj})^{-1} = (\det(A))^{n-1} \cdot \frac{1}{\det(A)} A = (\det(A))^{n-2}A[/mm],
>
> was zu zeigen war.
>
> Viele Grüße
> Julius
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 05.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
> > [mm]A A^{adj} = \det(A)\cdot E_n[/mm].
> >
> > Daraus kann man schließen:
> >
> > [mm]\det(A) \cdot \det(A^{adj}) = (\det(A))^n[/mm],
> Wie kommt
> man hier? Wieso kann man daraus das obere schließen?
Naja, es gilt doch:
[mm] $\det(A) \cdot \det(A^{adj}) [/mm] = [mm] \det(AA^{adj}) [/mm] = [mm] \det(\det(A)E_n) [/mm] = [mm] (\det(A))^n \det(E_n) [/mm] = [mm] (\det(A))^n$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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