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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mo 02.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich habe hier eine aufgabe, aber leider weiss ich nicht, wie ich dabei vorgehen soll, es zu beweisen.
ich hoffe, ihr koennt mir weiterhelfen. vielen dank!
Aufgabe:
sei A [mm] \in \IR^{n,n}.
[/mm]
(a) Ist [mm] A^{t} [/mm] = - A und n ungerade, so folgt det A = 0.
(b) Gebe ein A [mm] \in \IR^{2,2} [/mm] an, fuer das [mm] A^{t} [/mm] = - A und det A [mm] \not= [/mm] 0.
Wie beweise ich (a)? Ich weiss nicht, wie ich hier anfangen soll. Ich hoffe, ihr koennt mir einen Tipp geben.
Bei der (b) habe ich auch Probleme, da ich ja nicht weiss, wie das prinzip lauft.
darum bitte ich um hilfe. danke!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo!
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> Ich habe hier eine aufgabe, aber leider weiss ich nicht,
> wie ich dabei vorgehen soll, es zu beweisen.
> ich hoffe, ihr koennt mir weiterhelfen. vielen dank!
>
> Aufgabe:
> sei A [mm]\in \IR^{n,n}.[/mm]
> (a) Ist [mm]A^{t}[/mm] = - A und n ungerade,
> so folgt det A = 0.
Naja, es gilt doch:
[mm] $\det(A)=\det(A^t)$, [/mm] und falls [mm] $A^t=-A$ [/mm] folgt damit:
(i) [mm] $\det(A)=\det(-A)$.
[/mm]
Ferner gilt für $A [mm] \in \IR^{n \times n}$:
[/mm]
(ii) [mm] $\det(-A)=(-1)^n*\det(A)$ [/mm] (Kannst du das beweisen? Tipp: Linearität der Spalten!) und wegen (i) und (ii) folgt sofort die Behauptung, falls $n$ ungerade!
> (b) Gebe ein A [mm]\in \IR^{2,2}[/mm] an, fuer das [mm]A^{t}[/mm] = - A und
> det A [mm]\not=[/mm] 0.
Wie wäre es denn mit [mm]A=\pmat{0 & 1\\ -1 & 0}[/mm]?
Viele Grüße,
Marcel
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> Hallo!
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> > Hallo!
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> > Ich habe hier eine aufgabe, aber leider weiss ich nicht,
> > wie ich dabei vorgehen soll, es zu beweisen.
> > ich hoffe, ihr koennt mir weiterhelfen. vielen dank!
> >
> > Aufgabe:
> > sei A [mm]\in \IR^{n,n}.[/mm]
> > (a) Ist [mm]A^{t}[/mm] = - A und n
> ungerade,
> > so folgt det A = 0.
>
> Naja, es gilt doch:
> [mm]\det(A)=\det(A^t)[/mm],
[mm] $det(A^{t}) [/mm] = [mm] det(A)^{t}$
[/mm]
> und falls [mm]A^t=-A[/mm] folgt damit:
> (i) [mm]\det(A)=\det(-A)[/mm].
[mm] $det(A)^{t} [/mm] = det(-A)$
> Ferner gilt für [mm]A \in \IR^{n \times n}[/mm]:
> (ii)
> [mm]\det(-A)=(-1)^n*\det(A)[/mm] (Kannst du das beweisen? Tipp:
> Linearität der Spalten!) und wegen (i) und (ii) folgt
> sofort die Behauptung, falls [mm]n[/mm] ungerade!
Ich vermute einfach mal, dass $t [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $t\ge2$
[/mm]
[mm] $det(A)^{t} [/mm] = [mm] -det(A)\,\Rightarrow\,det(A) \in \{-1, 0\}$, [/mm] je nach t.
jetzt müsste man noch zeigen, dass für gerade t und ungerade n [mm] $A^{t}=-A$ [/mm] nicht erfüllbar ist, wenn die Determinante von A -1 ist. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
>
> > (b) Gebe ein A [mm]\in \IR^{2,2}[/mm] an, fuer das [mm]A^{t}[/mm] = - A und
> > det A [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Wie wäre es denn mit [mm]A=\pmat{0 & 1\\ -1 & 0}[/mm]?
>
> Viele Grüße,
> Marcel
.. und Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter!
Ich denke schon, denn ich meine, dass hier (wie in verschiedenen Skripten) mit [mm] $A^t$ [/mm] die Transponierte zur Matrix A gemeint ist! Falls diese Annahme korrekt ist, sollten auch alle meine Schlüsse (auch formal!) stimmen, so, wie ich sie gemacht habe (hoffe ich jedenfalls  )!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:44 Di 03.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Da sieht man mal, wie sehr ich auf gewohnte Schreibweisen fixiert bin [mm] ($A^{\red{T}}$ [/mm] für die Transponierte).
Nee, dann ist es wirklich einfacher, als ich es angedeutet habe.
@VHN: also keine Panik...
Grüße,
Peter
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Hallo,
> Ich verstehe nicht wirklich, wie man auf
> det(-A) = [mm](-1)^{n}[/mm] det (A) kommt.
> Ich hätte jetzt nämlich einfach behauptet, dass det(-A) =
> - det (A) ist. Wie komme ich aber auf das "hoch n"?
bei der Matrix (-A) wird ja jedes Element der Matrix mit -1 multipliziert:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - a_{11} } & \cdots & { - a_{1n} } \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
{ - a_{n1} } & \cdots & { - a_{nn} } \\
\end{array}} \right)[/mm]
Dann gilt (Definition der Determinante nach Leibniz):
[mm]
\det ( - A)\; = \;\sum\limits_{\sigma _{n} } {\prod\limits_{i = 1}^{n} {\left( { - a_{i\sigma (i)} } \right)} } \; = \;\left( { - 1} \right)^{n} \;\sum\limits_{\sigma _{n} } {\prod\limits_{i = 1}^{n} {a_{i\sigma (i)} } } \; = \;\left( { - 1} \right)^{n} \;\det (A)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 03.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo VHN!
Natürlich ist das, was Michael geschrieben hat, vollkommen richtig. Nur evtl. sieht das etwas abschreckend aus, wenn man es nicht gewöhnt ist .
Ich versuche es mal, es etwas anders aufzuschreiben, dann wird es vermutlich etwas klarer:
Es gilt (wenn wir für $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ mit [m]a^{(i)}=\vektor{a_{1i}\\ .\\.\\.\\a_{ni}}[/m] die i-te Spalte der Matrix $A$ bezeichnen):
[mm]\det(-A)=\det\left(-\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,\ldots,\,a^{(n)}\right)\right)
=\det\left(\left(-a^{(1)},\,-a^{(2)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)[/mm]
[mm]
\stackrel{Linearitaet\;in\;der\;1.\;Spalte}{=}
-1*\det\left(\left(a^{(1)},\,-a^{(2)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)[/mm]
[mm]\stackrel{Linearitaet\;in\;der\;2en\;Spalte}{=}
-1*(-1)*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,-a^{(3)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)=(-1)^2*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,-a^{(3)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)[/mm]
[mm]
\stackrel{Linearitaet\;in\;der\;3en\;Spalte}{=}
(-1)^3*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,a^{(3)},\,-a^{(4)},\,\ldots,\,-a^{(n)}\right)\right)
=\ldots[/mm]
[mm]\stackrel{Linearitaet\;in\;der\;n-ten\;Spalte}{=}
(-1)^n*\det\left(\left(a^{(1)},\,a^{(2)},\,a^{(3)},\,\ldots,\,a^{(n)}\right)\right)
=(-1)^n*\det(A)[/mm]
Ich hoffe, es sieht nicht so abschreckend aus, wie die Leibnizformel. Ich habe nämlich schon öfters bemerkt, dass viele die Leibnizformel als abschreckend empfinden !
Viele Grüße,
Marcel
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! Hin und wieder liest man aber auch z.B.:
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
, da gibt es einige kreative Ideen, das hier sind jetzt die, an die ich mich erinnere. VHN sollte vielleicht mal dazuschreiben, ob hier mit [mm] $A^t$ [/mm] auch (wie ich vermute) wirklich die Transponierte von $A$ gemeint ist oder doch etwas anderes...
