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Warum bestimmt eine Determinante, ob ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat?Was steckt dahinter? Oder, wie erkläre ich jemanden der keine Ahnung davon hat, warum das so ist?
Gruß Krissi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Di 15.03.2005 | | Autor: | BastiR |
Du kannst das Gleichungssystem ja als Matrix schreiben.
y = A*x
Dies kannst du ja Auflösen, indem du die inverse Matrix bildest.
Falls die Deteminante existiert, ist das Gleichungssystem lösbar (gilt auch umgekehrt). Daher kannst du durch die Determinante bestimmen, ob das Gleichungssystem lösbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Krissi!
Zuerst einmal hier ein Link, auf dem ich die selbe Frage schonmal gestellt habe: https://matheraum.de/read?i=12229
Nun ein paar Worte von mir:
-- Die Determinante einer nxn Matrix ist genau dann ungleich Null, wenn die Matrix den Rang n hat. Wenn eine Matrix den Rang n hat, dann ist sie invertierbar und du kannst, wie schon von Basti angedacht, die Gleichung $Ax=b$ durch linksseitige Multiplikation mit dem Inversen von A in [mm] $x=A^{-1}\cdot [/mm] b$ überführen, was dir die gewünschte Lösung $x$ liefert.
-- Wie du sicherlich weißt, darf (und muss meistens!) beim Lösen eines Linearen Gleichungssystemes Gleichungen addieren, voneinander abziehen usw. In der Sprache der Matrizen spricht man dabei von elementaren Zeilenumformungen. Kannst du nun eine Matrix durch elementare Zeilenumformungen in eine sog. Dreiecksmatrix verwandeln (das ist eine Matrix, für die alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind), so beschreibt die Determinante genau das Produkt aller Elemente auf der Hauptdiagonalen. Was hast du nun von einer Matrix in dieser Form? Nun: wenn du es schaffst, deine Matrix so umzuformen, dass nur noch auf der Hauptdiagonalen Werte ungleich Null stehen, dann entspricht dies einem Gleichungssystem wie $3x=8, 5y=24, z=2, ...$ - du hast eine Gleichung für eine Variable (denn in jeder Zeile der Matrix, die anschaulich gesprochen für eine Gleichung im Gleichungssystem steht) ist nur ein Wert ungleich Null; und die Werte sind ja bekanntlich genau die Koeffizienten der Unbekannten. Die Matrix in diese Form zu bringen ist also sehr wünschenswert. Wenn die Determinante gleich Null ist, dann muss eines der Hauptdiagonalenelemente gleich Null sein - du erhältst also nicht diese schöne Form, wie ich sie oben genannt habe. Ist die Determinante allerdings ungleich Null, so lässt sich die Matrix tatsächlich in eine solche schöne Form bringen und das Gleichungssysem eindeutig lösen.
-- Bedenke: ein Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist und/also die Koeffizientenmatrix regulär ist, d.h. den Rang n hat. Ist sie allerdings gleich Null, so heißt dies nicht, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist. Das heißt lediglich, dass es wahrscheinlich unendlich viele oder aber keine Lösungen geben wird.
Ich weiß nicht, wie viel du bzw. derjenige, dem das Ganze erklärt werden soll, von Linearer Algebra verstehst/versteht. Daher enden meine Ausführungen hier. Wenn jedoch etwas unklar ist oder du es ein wenig genauer haben möchtest, dann frage bitte nach.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Krissi... |
Hallo Hanno, Hallo Basti,
vielen Dank für die schnellen Antworten. Ihr habt mir sehr weiter geholfen und daür möchte ich mich bei euch bedanken!!!!!
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