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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
Hallo
Ich muss die Determinante der n [mm] \times [/mm] n Matrix
A= [mm] \pmat{ a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b & \cdots & b & a & b \\ b & b & \cdots & b & a }
[/mm]
(also Auf der diagonalen a sonst alles b) Berechnen
hab auf viele Arten versuch die Matrix zu vereinfachen aber es klapt nicht wirklich
z.B.
[mm] \pmat{ a-b & b-a & 0 & \cdots & b \\ 0 & a-b & b-a & \cdots & b \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a-b & b-a \\ b-a & 0 & \cdots & 0 & a }
[/mm]
Hier stört das (b-a) links unten.
Bei jedem Versuch war etwas ähnliches was gestört hat ich hab keine Ideen mehr hat jemand ein Tip für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Manic |
Hallo Pawelos,
die Determinante einer Matrix wird berechnet, indem man die Produkte Diagonalen (von links oben nach rechts unten) addiert und die Produkte der Diagonalen (von rechts oben nach links unten) davon subtrahiert. Fazit für dein Problem würd ich meinen, dass das Ergebnis wie folgt aussieht:
Det A = [mm] a^{n}+(n-1)b^n-n*a*b^{n-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Kreide |
FALSCH!!!!!!!!!! Das gilt nur für 3x3Matrizen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Kreide |
bzw bei 2x2 matrizen!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
Ja das geht nur bis 3 [mm] \times [/mm] 3 also muss ich entweder ein obere dreiecksmatrix daraus machen oder eine von der form:
[mm] \pmat{ A_1 & C & C \\0 & \ddots & C \\ 0 & 0 & A_m }
[/mm]
Wobei [mm] A_1...A_n [/mm] quadratische Matrizen sein müssen und C beliebig sind.
Aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Mottte |
Du formst deine Matrix einfach mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in eine obere Dreiecksmatrix um (also dass unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen).
Danach multiplizierst du die Elemente der Diagonalen miteinander und du erhältst die Determinante.
Vorsicht: Beim umformen in die obere Dreiecksmatrix solltest du Zeilentausch und Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor vermeiden, sonst wird es wieder komplizierter. Also form einfach um indem du nur Zeilen oder deren Vielfache miteinander addierst/subtrahierst bis du eine obere Dreiecksmatrix vorliegen hast.
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