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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:47 Do 10.01.2013 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Liebes Forum!
Ich habe wiedereinmal eine Frage... und zwar geht es um die Kegelschnitte (= Conic Section) welche bekannterweise in der Form
A [mm] x^{2} [/mm] + B*x*y + [mm] C*y^{2} [/mm] + D*x + E*y + F = 0
Dies kann man interpretieren als einen Schnitt der Ebene D*x + E*y + F mit der Funktion f(x,y) = A [mm] x^{2} [/mm] + B*x*y + [mm] C*y^{2}. [/mm] Nun kann man dies auch noch wie folgt schreiben
[mm] \vektor{x & y} \pmat{ A &\bruch{B}{2}\\ \bruch{B}{2}& C } \vektor{x \\ y} [/mm] = -(D*x + E*y + F)
Nun ist es so dass wenn det(A) = 0, so ist die Schnittlinie eine Parabel.
Falls det(A) > 0, so haben wir eine Ellipse
und
Falls det(A) < 0, so eine Hyperbel.
Geometrisch leuchtet mir das ein - für det(A) = 0 ist die Funktion f(x,y) eine Art langer Kanal der nach zwei Seiten parabelförmig anwächst. Ist det(A) > 0 so entsteht eine Art loch bei welchem die Seitenwände auf allen Seiten wachsen. Und für det(A) < 0 entsteht eine Art nach unten und oben offene Fläche.
Aber was mir nicht klar ist ist die "Lineare Algebra Interpetation" - also wie kann man sich das Vorstellen mit [mm] \vektor{x & y} \pmat{ A &\bruch{B}{2}\\ \bruch{B}{2}& C } \vektor{x \\ y} [/mm] ? Der Vektor wird mit der Matrix Abgebildet und dann wiederum dieser resultierende Vektor wird als Skalarprodukt multipliziert mit dem Vektor [mm] \vektor{x & y}. [/mm] Ich kann hieraus leider nicht erkennen weshalb wenn det(A) = 0 eine Parabel entsteht und z.B. keine Hyperbel.
Vielen Dank!
Qsxqsx...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 18.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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