Det schiefsymmetrischer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade, folgedens zu zeigen:
Für eine schiefsymmetrische (d. h. -A = [mm] A^t) [/mm] n [mm] \times [/mm] n -Matrix gilt, dass die Determinante der Matrix = 0 ist, falls n ungerade. Ist n gerade, ist [mm] det(A)\neq [/mm] 0
Leider finde ich keinen Einstieg in die Beweisführung und wäre für Hilfe dankbar.
Grüße und Danke im Voraus,
Adrian
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Hallo Adrian!
> ich versuche gerade, folgedens zu zeigen:
> Für eine schiefsymmetrische (d. h. -A = [mm]A^t)[/mm] n [mm]\times[/mm] n
> -Matrix gilt, dass die Determinante der Matrix = 0 ist,
> falls n ungerade. Ist n gerade, ist [mm]det(A)\neq[/mm] 0
>
> Leider finde ich keinen Einstieg in die Beweisführung und
> wäre für Hilfe dankbar.
Ich weiß nicht, ob dir das weiterhilft, aber ich würde mir da als erstes mal eine schiefsymmetrische Matrix hernehmen (ich nehme an, du meinst mit [mm] A^{t} [/mm] die Transponierte, oder?). Jedenfalls wäre dann doch solch eine Matrix:
[mm] \pmat{0&-a_{21}&...&-a_{n1}\\a_{21} & & &\\ ... \\ a_{n1}& & ... & 0} [/mm]
(also auf der Diagonalen Nullen, und ansonsten halt immer quasi gespiegelt, aber das negative davon, falls du verstehst, was ich meine)
Und davon könnte man doch jetzt mal die Determinante berechnen - evtl. geht das mit Induktion, wo du dann einmal bei 2 anfängst und als Induktionsschritt dann [mm] n\to [/mm] n+2 machst und einmal fängst du bei 3 an (oder doch schon bei 1?) und machst als Induktionsschritt ebenfalls [mm] n\to [/mm] n+2.
Das ist aber nur eine spontane Idee von mir - ich weiß nicht, ob das wirklich so funktioniert. Aber ich würde es mal so ausprobieren. 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Di 19.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo,
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> ich versuche gerade, folgedens zu zeigen:
> Für eine schiefsymmetrische (d. h. -A = [mm]A^t)[/mm] n [mm]\times[/mm] n
> -Matrix gilt, dass die Determinante der Matrix = 0 ist,
> falls n ungerade. Ist n gerade, ist [mm]det(A)\neq[/mm] 0
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> Leider finde ich keinen Einstieg in die Beweisführung und
> wäre für Hilfe dankbar.
>
> Grüße und Danke im Voraus,
>
> Adrian
Schau mal hier: https://matheraum.de/read?i=10095
Vielleicht hilft dir das weiter. Wenn du den Fischer - Lineare Algebra (14. Auflage) besitzt, findest du auf Seite 183 etwas. Die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix mit ungerader Zeilen- und damit Spaltenanzahl ist gleich dem Quadrat des Pfaffschen Polynoms.
Für deine Aufgabe könntest du zeigen, dass es nicht das Nullpolynom wird und du wärest fertig!
Gruß Micha
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