Der Ring der Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Mi 02.02.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe zu lösen und weiss nicht wie ich das ganze angehen soll:
Sei [mm] (\IR,+,*) [/mm] der Ring der Polynome über den Körper der reelen Zahlen [mm] (\IR,+,*) [/mm] und sei r [mm] \in \IR [/mm] (r fest) gegeben.
a) Beweisen Sie, dass die Abbildung
[mm] f_{r} \IR[X] \to \IR
[/mm]
[mm] a_{0}+a_{1}X+\cdots+a_{n}X^{n} \mapsto a_{0}+a_{1}r+\cdots+a_{n}r^{n}
[/mm]
mit [mm] a_{0}\cdots,a_{n} \in \IR, [/mm] ein Ringhomomorphismus ist.
Ich weiss dass ich zeigen muss
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x*y)=f(x)+f(y)
[mm] f(1_{r})=1_{s}
[/mm]
die Frage ist nur dass ich nicht weiss wie ich das ganze angehen soll.
Ich dachte mir das vieleicht als Summe anzuschreiben, aber ich weiss nicht wie?
Danke für Ihre Hilfe
mfg
Marc
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 02.02.2005 | | Autor: | pjoas |
einfach einsetzen und loslegen:
zum Beispiel :
$g,h [mm] \in \IR[X]$ [/mm] beliebig mit
[mm] $g={a_0}+{a_1}X+\cdots+{a_k}X^{k}$
[/mm]
[mm] $h={b_0}+{b_1}X+\cdots+{b_n}X^{n}$
[/mm]
ObdA [mm] $k\le{n}$ [/mm] (sonst umstellen)
$g+h = [mm] ({a_0}+{b_0}) [/mm] + [mm] ({a_1}+{b_1})X [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] ({a_k}+{b_k})X^{k}+\cdots {b_n}X^{n}$
[/mm]
dann gilt:
[mm] $f_r(g+h) [/mm] = [mm] ({a_0}+{b_0}) [/mm] + [mm] ({a_1}+{b_1})r [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] ({a_k}+{b_k})r^{k}+\cdots {b_n}r^{n}$
[/mm]
[mm] $f_r(g+h) ={a_0}+{a_1}r+\cdots+{a_k}r^{k}+{b_0}+{b_1}r+\cdots+{b_n}r^{n}$
[/mm]
[mm] $f_r(g+h)=f_r(g) [/mm] + [mm] f_r(h)$
[/mm]
Du kannst natürlich auch Summenzeichen dafür verwenden ;)
Gruß, Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mi 02.02.2005 | | Autor: | baddi |
Bist du sicher das ein Ring-Homomorphismus so sehr verschieden vom
Homomorphismus ist?
Homomorphismus bedeutet doch:
f(x)+f(y)=f(x+y) und dings*f(x)=f(dings*x)
bzw. zusammengeschrieben
dings*( f(x)+f(y) )=f( dings*( x+y ) )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 02.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Homomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen und je nach Struktur ähneln oder unterscheiden sie sich. Bitte wirf nicht Ringe mit Vekrorräumen und Moduln bzw. Algebren durcheinander ;)
Gruß, Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mi 02.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo ihr Zwei,
irgendwie habt ihr beide recht, jedoch hat squeezer bei der zweiten Eigenschaft wohl nur Copy&Paste verwendet, denn da steht was Falsches (deshalb der Einwand von baddi?).
Jedoch muss man (je nach Definition von einem Ring "mit Eins" oder ohne) noch die dritte Eigenschaft fordern (siehe pjoas).
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mi 02.02.2005 | | Autor: | squeezer |
also es heisst natürlich
f(x*y)=f(x)*f(y)
und nicht
f(x*y)=f(x)+f(y)
danke übrigens für die Antwort
|
|
|
|
