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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich habe hier folgendes:
Mit [mm] \delta [/mm] sei die Diracsche Deltadistribution bezeichnet.
Mit [mm] \delta^{(n)} [/mm] sei die n-fache Ableitung der Diracschen Deltadistribution bezeichnet.
[mm] \frac{1}{\Sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n)}(x) e^{(-ikx)} dx} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\Sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n-1)}(x) (-ik)e^{(-ikx)} dx}
[/mm]
Wobei der letzte Schritt durch partielle Integration entstanden sein soll.
Hier habe ich jedoch Verständnisschwierigkeiten. Wenn ich die partielle Integration "langsamer" ausführe, habe ich:
[mm] \frac{1}{\Sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n)}(x) e^{(-ikx)} dx}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\Sqrt{2\pi}}([\delta^{(n-1)}(x)e^{(-ikx)}]^{\infty}_{-\infty} -\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n-1)}(x) (-ik)e^{(-ikx)} dx})
[/mm]
Wenn die beiden Ergebnisse gleich sein sollen, muss
[mm] [\delta^{(n-1)}(x)e^{(-ikx)}]^{\infty}_{-\infty} [/mm] = 0
sein.
Warum ist das so?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 04:00 Sa 20.12.2008 | | Autor: | iks |
Moin Rutzel!
Der Einfachheit halber wird in der Physik manchmal
[mm] $\delta(x)=\begin{cases}0&\text{ fuer }\neq 0\\\infty&\text{ fuer }x=0\end{cases}$
[/mm]
definiert. Wenn dies in grober Näherung zutrifft könnte dies zumindest den ersten Summanden erklären.
Da ich das aber selbst nur aus Wiki rausgefischt habe noch der Link dazu:
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) Hier in Wikipedia nach.
mFg iks
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:12 Sa 20.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Moin Rutzel!
>
> Der Einfachheit halber wird in der Physik manchmal
>
> [mm]\delta(x)=\begin{cases}0&\text{ fuer }\neq 0\\\infty&\text{ fuer }x=0\end{cases}[/mm]
>
> definiert. Wenn dies in grober Näherung zutrifft könnte
> dies zumindest den ersten Summanden erklären.
Mit grober Näherung hat das nichts zu tun. Dirac hat diese Definition ursprünglich genannt, wohl wissend, dass sie mathematisch sinnlos ist, denn sie führt ziemlich schnell zu einem Widerspruch. Erst Laurent Schwartz hat dann die Distributionstheorie entwickelt.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Sa 20.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mit [mm]\delta[/mm] sei die Diracsche Deltadistribution bezeichnet.
>
> Mit [mm]\delta^{(n)}[/mm] sei die n-fache Ableitung der Diracschen
> Deltadistribution bezeichnet.
>
> [mm]\frac{1}{\Sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n)}(x) e^{(-ikx)} dx}[/mm]
> =
> [mm]-\frac{1}{\Sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n-1)}(x) (-ik)e^{(-ikx)} dx}[/mm]
>
> Wobei der letzte Schritt durch partielle Integration
> entstanden sein soll.
>
> Hier habe ich jedoch Verständnisschwierigkeiten. Wenn ich
> die partielle Integration "langsamer" ausführe, habe ich:
>
> [mm]\frac{1}{\Sqrt{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n)}(x) e^{(-ikx)} dx}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{\Sqrt{2\pi}}([\delta^{(n-1)}(x)e^{(-ikx)}]^{\infty}_{-\infty} -\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n-1)}(x) (-ik)e^{(-ikx)} dx})[/mm]
>
> Wenn die beiden Ergebnisse gleich sein sollen, muss
>
> [mm][\delta^{(n-1)}(x)e^{(-ikx)}]^{\infty}_{-\infty}[/mm] = 0
>
> sein.
Nein. Das Missverständnis hier ist, dass die Delta-Distribution eine normale Funktion sei, denn dann ließe sich diese Identität durch direkte partielle Integration zeigen. Tatsächlich ist [mm] $\delta$ [/mm] keine Funktion, sondern eine nicht reguläre Distribution.
Eine ganz kurze Erklärung, ohne alle Details:
Distributionen sind lineare Funktionale auf einem Funktionenraum von sogenannten Testfunktionen. Sogenannte reguläre Distributionen lassen sich als Integral schreiben, und dann darfst du auch partiell integrieren. Aber die zugehörigen Testfunktionen f müssen im Unendlichen schnell genug abfallen, und dadurch verschwindet der Randterm der partiellen Integration. Damit gilt die Identität
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}D'(x) f(x) dx = -\integral_{-\infty}^{\infty} D(x) f'(x) dx [/mm]
für eine reguläre Distribution D und eine solche Testfunktion f.
Da sich die nicht reguläre Distribution [mm] $\delta$ [/mm] als Grenzwert einer Folge regulärer Distributionen darstellen lässt, folgt die Identität
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\delta'(x) f(x) dx = -\integral_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f'(x) dx [/mm]
[mm] $\delta$ [/mm] ist eine sehr spezielle Distribution. Da sie einer Funktion ihren Wert am Punkt 0 zuordnet, lässt sich die Definition auf nicht-Testfunktionen wie [mm] $e^{ikx}$ [/mm] erweitern.
Viele Grüße
Rainer
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