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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
Mit [mm] \delta [/mm] sei die Diracsche Deltadistribution bezeichnet.
Laut meiner Vorlesung gilt:
[mm] \delta(g(x)) [/mm] = [mm] \summe_{\stackrel{\xi \in \IR}{g(\xi)=0}}\frac{\delta(x-\xi)}{|g'(\xi)|}
[/mm]
Ich soll
[mm] \integral_{-1}^{1}{\delta(sin(2x))e^{\frac{1}{x^2-1}} dx}
[/mm]
berechnen.
Laut Lösung gilt:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\delta(sin(2x))e^{\frac{1}{x^2-1}} dx}
[/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}{\summe_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\delta(x-\frac{n\pi}{2})}{|2cos(n\pi)|} e^{\frac{1}{x^2-1}} dx}
[/mm]
=
[mm] \frac{1}{2}e^{-1}
[/mm]
Kann mir jemand das letzte Gleichheitszeichen erklären? Wie kommt man von der Reihe zu dem Audruck [mm] \frac{1}{2}e^{-1}?
[/mm]
Gruß,
Bastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Tequila |
Hallo !
Vorab:
bin kein Mathematiker, also wenn dir schon bisher keiner geantwortet hat, dann kann mein Ansatz vielleicht auch kompletter Humbug sein. Aber ich versuch einfach mal einen Ansatz, den ich machen würde.
Die Delta-Distribution ist ja nur für [mm] \delta(x) [/mm] für x = 0 definiert.
[mm] \Rightarrow [/mm] nur für x = [mm] \frac{n\pi}{2} [/mm] ist diese Funktion nicht 0.
[mm] \integral_{-1}^{1}{\summe_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\delta(u)}{|2cos(n\pi)|} e^{\frac{1}{\frac{n\pi}{2}^2-1}} dx}
[/mm]
u ist 0
Nun kann man zu erst das Integral berechnen und hat ja im Prinzip einen Ausdruck der Form [mm] \infty [/mm] * anderen Teil. Kann also den Satz von L'Hopital anwenden. Die Ableitung von der Delta-Distribution ist die Heavside-Funktion, deswegen hab ich dort u als Variable eingesetz.
Vielleicht hilft dir das ja weiter, auch wenn vielleicht irgendwo ein Fehler drin ist, oder ermutigt jemand anderes sich der Aufgabe nochmal anzunehmen ;)
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