Delta-Epsilon Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie für die nachstehende Funktion zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 an, sodass aus |x − x0| < [mm] \delta [/mm] die Beziehung |f(x) − f(x0)| < [mm] \varepsilon [/mm] folgt.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^{2}+4}, [/mm] D(f) = [mm] \IR [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe ein ähnliches Problem in diesem Forum gefunden, jedoch stellen sich mir auch bei dem noch einige Fragen.
Frage 1: Was für einen Ansatz sollte für diese Aufgabe gewählt werden?
Vielen dank schon im vorhinein für alle Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 15.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie für die nachstehende Funktion zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 an, sodass aus |x − x0| <
> [mm]\delta[/mm] die Beziehung |f(x) − f(x0)| < [mm]\varepsilon[/mm] folgt.
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x^{2}+4},[/mm] D(f) = [mm]\IR[/mm]
> Hallo zusammen!
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> Ich habe ein ähnliches
> Problem in diesem Forum
> gefunden, jedoch stellen sich mir auch bei dem noch einige
> Fragen.
>
> Frage 1: Was für einen Ansatz sollte für diese Aufgabe
> gewählt werden?
>
> Vielen dank schon im vorhinein für alle Antworten!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zunächst schaut man sich an:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|$. [/mm] Bei obiger Funktion f ist das (mit etwas Bruchrechnen)
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=\frac{|x^2-x_0^2|}{(x^2+4)(x_0^2+4)}$. [/mm] Der Nenner im letzen Bruch ist $ [mm] \ge [/mm] 1$, also haben wir
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x^2-x_0^2|=|(x+x_0)(x-x_0)| \le (|x|+|x_0|)|x-x_0|$.
[/mm]
Da wir am Verhalten von f nur in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] interessiert sind, können wir [mm] $|x-x_0| [/mm] <1$ annehmen. Dann ist
[mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| \le 1+|x_0|$. [/mm] Wir setzen [mm] $c:=1+|x_0|$ [/mm] und bekommen für [mm] $|x-x_0| [/mm] <1$ die Abschätzung
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le c|x-x_0|$.
[/mm]
Ist nun $ [mm] \epsilon [/mm] >0$, so überzeuge Dich davon , dass [mm] $\delta:= \min\{1, \epsilon/c\}$ [/mm] das Gewünschte leistet.
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