Definitionslücken < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Do 04.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die Definitionslücken der folgenden Funktionen stetig behhebbar sind, und erweitern Sie ggf. den Definitionsbereich:
[mm] f(x)=\exp{(\bruch{1}{x})}
[/mm]
[mm] f(x)=\exp{(\bruch{-1}{x^2})} [/mm] |
Also Defintionslücke ist hier 0...
Nur habe ich keine Ahnung wie man die beheben sollte.
[mm] f(x)=\exp{(\bruch{1}{x})} [/mm] kann ich für positives x>0 doch auch
[mm] f(x)=\sqrt[x]{e} [/mm]
und für negatives x<0
[mm] f(x)=\bruch{1}{\sqrt[x]{e}}
[/mm]
aber dann ist die Definitonslücke noch genauso Definitionslücke.
Bei der 2ten Funktion ist's ähnlich.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke und Gruß,
tedd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Do 04.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Du musst hier jeweils den linkseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ betrachten bzw. ermitteln.
Stimmen diese beiden Werte überein? Wenn ja, lässt sich die Funktion bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ auch stetig ergänzen.
Beispiel 1. Aufgabe:
[mm] $$\text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
PS: die 1. Funktion ist nicht stetig ergänzbar, die 2. Funktion schon ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Do 04.09.2008 | | Autor: | tedd |
Okay!
Wie gehe ich denn beim Grenzwert von einer Seite vor in diesem Fall?
Ich habe hier jetzt eingesetzt.
[mm] f(-1)=exp(\bruch{1}{-1})=\bruch{1}{e}
[/mm]
und einmal
[mm] f(1)=exp(\bruch{1}{1})=e
[/mm]
um zu sehen wie sich die Funktion um 0 herum erhält...
Dann wäre doch
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ 0 $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = [mm] \infty [/mm] $
Oder?
Wenn ich das gleiche bei der anderen Funktion mache sehe ich "Ahh die Verhalten sich gleich!"
[mm] f(x)=exp(\bruch{-1}{x^2})
[/mm]
f(1)=exp(-1)
f(-1)=exp(-1)
Also:
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\exp\left(\bruch{-1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ 0 $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\exp\left(\bruch{-1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ 0$
Jetzt weis ich, dass hier die Defintionslücke stetig behhebar ist.(hast mir ja auch vorher schon den Tipp gegeben  )
Nur wie.... bin gerade am rumrätseln ob man den bruch irgendwie erweitern könnte oder so?!
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer x gegen 0 die Werte von =1 und -1 zu betrachten ist eigentlich nicht sehr sinnvoll. Wenn man die beiden GW nicht direkt sieht lohnt es oft wirklich kleine pos und negative Zahlen einzusetzen etwa [mm] =10^{-10} [/mm] und [mm] -10^{-10}
[/mm]
noch besser die Folge [mm] x_n=\pm 10^{-n}
[/mm]
oder ne andere geeignete Nullfolge!
der zweite Teil ist richtig, wieder die =1, +1 eigentlich sinnlos, wegen [mm] f(x^2) [/mm] kann man auf Symmetrie schliessen und daraus direkt, Wenn ein GW existiert dann rechts=links.
Deine andere frage kommt wohl von rationalen fkt., wo man manchmal die 0 im Nenner rausdividieren kann?
hier hilft Umformen oder Erweitern sicher nichts!
Ein Bruch, der gegen unendlich geht kann man durch keine manipulation zu was anderem bringen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Do 04.09.2008 | | Autor: | tedd |
Hm okay!
Danke ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber ich habe doch durch den gleichen linksseitigen sowie rechtsseitigen Grenzwert gezeigt, dass die Defintionslücke stetig behhebar ist oder?
Dann muss ich doch durch umformung die Definitionslücke irgendwie beheben können um den Definitionsbereich zu erweitern, sonst wäre es doch keine stetig behhebbare Definitionslücke und ich hätte mir die Arbeit mit den Grenzwerten sparen können?
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 04.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
> Aber ich habe doch durch den gleichen linksseitigen sowie
> rechtsseitigen Grenzwert gezeigt, dass die Defintionslücke
> stetig behhebar ist oder?
Richtig! Und dieser Grenzwert ist dann genau der Funktionswert, um die Lücke stetig zu "füllen".
> Dann muss ich doch durch umformung die Definitionslücke
> irgendwie beheben können um den Definitionsbereich zu
> erweitern, sonst wäre es doch keine stetig behhebbare
> Definitionslücke und ich hätte mir die Arbeit mit den
> Grenzwerten sparen können?
s.o.! Bei Gleichheit der beiden Grenzwerte ist genau dieser Wert unser gesuchter Funktionswert an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du kannst bei fkt. die ne hebbare Unstetigkeit haben nicht nen neuen Ausdruck hinschreiben., das waere ja ne andere fkt!
Du musst einfach schreiben: die fkt f ist bei x=0 nicht definiert. man kann diese fkt aber stetig ergaenzen, und hat dann die fkt g(x) mit
[mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases}
[/mm]
Hast du etwa [mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x+1} [/mm] kannst du die stetige fkt g(x)=x-1 als die stetige ergaenzung an der fkt f nennen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Fr 05.09.2008 | | Autor: | tedd |
Cool!
Ich denke jetzt habe ich es verstanden!
Vielen Dank an euch 2.
Gruß,
tedd
|
|
|
|
