Definition des lim sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | A1.) Sei [mm] $(a_n) \subset \IR$ [/mm] beschränkt. Zeigen Sie: [mm] $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} a_n [/mm] = [mm] \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \sup\{a_n | n \geq N\}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
habe gerade einige Probleme mit dem lim sup, denn in der VL haben wir einfach definiert, dass der lim sup der größte Häufungspunkt einer Folge ist. Ich weiß, dass [mm] $\sup\{a_n | n \geq N\}$ [/mm] beschränkt ist, jedoch bin ich irritiert wie jetzt genau die rechte Menge mit dem lim sup zusammenhängt. Denn bspw bei [mm] $b_n [/mm] := [mm] 1+\frac{1}{n}$ [/mm] und man betrachte $M := [mm] \{b_n | n \in \IN\}$, [/mm] so ist [mm] $\sup(M)=2$, [/mm] der [mm] $\limsup [/mm] = 1$. Vielleicht übersehe ich die Bedeutung des Index, freue mich auf eure Ratschläge :)
Grüße
Joe
|
|
| |
|
> A1.) Sei [mm](a_n) \subset \IR[/mm] beschränkt. Zeigen Sie:
> [mm]\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \sup\{a_n | n \geq N\}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> habe gerade einige Probleme mit dem lim sup, denn in der VL
> haben wir einfach definiert, dass der lim sup der größte
> Häufungspunkt einer Folge ist. Ich weiß, dass [mm]\sup\{a_n | n \geq N\}[/mm]
Stell dir den Lim Sup einfach als den Grenzwert der größten konvergenten Teilfolge vor, das funktioniert meistens besser. z.B. Haben wie [mm] sin(n*\bruch{\pi}{2}) [/mm] mit n aus N ergeben ishc welche Teilfolgen? (betrachte n=2*n das ist z.B. eine Konvergente Teilfolge, es gibt noch 2 andere und die sind für uns im Moment Interessant ;))
> beschränkt ist, jedoch bin ich irritiert wie jetzt genau
> die rechte Menge mit dem lim sup zusammenhängt. Denn bspw
> bei [mm]b_n := 1+\frac{1}{n}[/mm] und man betrachte [mm]M := \{b_n | n \in \IN\}[/mm],
> so ist [mm]\sup(M)=2[/mm], der [mm]\limsup = 1[/mm]. Vielleicht übersehe ich
> die Bedeutung des Index, freue mich auf eure Ratschläge
> :)
Der Index bedeutet nur, dass du als n jede Natürliche Zahl einsetzen darfst. Wie gesagt beachte mein Ratschlag oben, denn bei dem Beispeil gibt es nur eine Konvergente Teilfolge diese geht gegen 1 für n gegen Unendlich ;)
>
> Grüße
> Joe
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Stell dir den Lim Sup einfach als den Grenzwert der
> größten konvergenten Teilfolge vor, das funktioniert
> meistens besser. z.B. Haben wie [mm]sin(n*\bruch{\pi}{2})[/mm] mit n
> aus N ergeben ishc welche Teilfolgen? (betrachte n=2*n das
> ist z.B. eine Konvergente Teilfolge, es gibt noch 2 andere
> und die sind für uns im Moment Interessant ;))
Wie gesagt mir ist klar wie ich den lim sup bestimmen kann, alternierende Folgen sind ein schönes Beispiel oder eben periodische wie gerade der von dir erwähnte Sinus mit Teilfolgen [mm] $a_{2n} \rightarrow [/mm] 0, [mm] a_{4n-3} \rightarrow [/mm] 1, [mm] a_{4n-1} \rightarrow [/mm] -1$ also wäre der lim sup in diesem Falle 1, da der größte Häufungspunkt, bzw. [mm] $\sup\{-1,0,1\}$.
[/mm]
> > beschränkt ist, jedoch bin ich irritiert wie jetzt
> genau
> > die rechte Menge mit dem lim sup zusammenhängt. Denn bspw
> > bei [mm]b_n := 1+\frac{1}{n}[/mm] und man betrachte [mm]M := \{b_n | n \in \IN\}[/mm],
> > so ist [mm]\sup(M)=2[/mm], der [mm]\limsup = 1[/mm]. Vielleicht übersehe ich
> > die Bedeutung des Index, freue mich auf eure Ratschläge
> > :)
> Der Index bedeutet nur, dass du als n jede Natürliche
> Zahl einsetzen darfst. Wie gesagt beachte mein Ratschlag
> oben, denn bei dem Beispeil gibt es nur eine Konvergente
> Teilfolge diese geht gegen 1 für n gegen Unendlich ;)
> >
Deine Erläuterung erscheint mir ja plausibel, aber wie kann ich das jetzt mit der Aufgabe verknüpfen? :)
Mit anderen Worten, dass [mm] $\sup\{a_n|n\geq N\}$ [/mm] für $N [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] mir den lim sup liefert?
Grüße
Joe
|
|
|
| |
|
> Deine Erläuterung erscheint mir ja plausibel, aber wie
> kann ich das jetzt mit der Aufgabe verknüpfen? :)
> Mit anderen Worten, dass [mm]\sup\{a_n|n\geq N\}[/mm] für [mm]N \rightarrow \infty[/mm]
> mir den lim sup liefert?
Nja [mm] N\to{\infty} [/mm] liefert dir die Grenzwerte aller Konvergenten Teilfolgen. Wenn du nun den Größten grenzwert btrachtest ist das natürlich dein LIM Sup. Schau dir mal dazu die Grafik auf wikipedia an, da sieht man es ganz gut ;) http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior
Grüße
Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 So 15.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> A1.) Sei [mm](a_n) \subset \IR[/mm] beschränkt. Zeigen Sie:
> [mm]\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \sup\{a_n | n \geq N\}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> habe gerade einige Probleme mit dem lim sup, denn in der VL
> haben wir einfach definiert, dass der lim sup der größte
> Häufungspunkt einer Folge ist. Ich weiß, dass [mm]\sup\{a_n | n \geq N\}[/mm]
> beschränkt ist, jedoch bin ich irritiert wie jetzt genau
> die rechte Menge mit dem lim sup zusammenhängt. Denn bspw
> bei [mm]b_n := 1+\frac{1}{n}[/mm] und man betrachte [mm]M := \{b_n | n \in \IN\}[/mm],
> so ist [mm]\sup(M)=2[/mm], der [mm]\limsup = 1[/mm]. Vielleicht übersehe ich
> die Bedeutung des Index, freue mich auf eure Ratschläge
> :)
>
> Grüße
> Joe
Für N [mm] \in \IN [/mm] betrachte die Menge
[mm] M_N:=\{a_n | n \geq N\}=\{a_N, a_{N+1},...\}
[/mm]
Diese Menge ist beschränkt, weil [mm] (a_n) [/mm] beschränkt ist. Es ex. also
[mm] b_N:= [/mm] sup [mm] M_N
[/mm]
Dann ist [mm] (b_N) [/mm] eine beschränkte Folge und sie ist auch monoton, also konverguert sie.
Zeigen sollst Du:
[mm] \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} a_n =\limes_{N\rightarrow\infty}b_N
[/mm]
FRED
P.S.: Vergiss die Beiträge meines Vorredners. Sie sind mathematisch nicht korrekt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 15.12.2013 | | Autor: | xxgenisxx |
Falls dem so ist, tut es mir leid, ich war mir bei der Sache eigentlich Recht sicher, sorry.
|
|
|
|
