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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Definition des Betrags
Definition des Betrags < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Definition des Betrags: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mo 20.11.2006
Autor: uni.chris

Aufgabe
Beweisen Sie für alle w,z € C das sog. Parallelogramm Gesetz:
[mm] |zw*+1|^2 [/mm] + [mm] |z+w|^2 [/mm] = [mm] (1+|z|^2)(1+|w|^2) [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Wie erhalte ich die Def. von [mm] |zw*+1|^2? [/mm]
Die von [mm] |z+w|^2 [/mm] ist ja gleich (z+w)(z*+w*)

        
Bezug
Definition des Betrags: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 20.11.2006
Autor: ullim

Hi,

[mm] |zw+1|^2=(zw+1)(zw+1)^{\*}=(zw+1)((zw)^{\*}+1)=(zw+1)(z^{\*}w^{\*}+1) [/mm]

vielleicht hilft das

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Definition des Betrags: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Mo 20.11.2006
Autor: uni.chris

Habe gesehen, dass ich einen kleinen Fehler in der Aufgabenstellung hatte.
Ich hoffe er war nicht entscheidend. Die Aufgabe richtig:
[mm] |zw*+1|^2 [/mm]
Ist dann die Lösung:
(z+w*+1)(z*+w*+1)=zz*+zw*+z + w*z*+w*w*+w* + z*+w*+1  ???

...und wie gehts dann weiter?

Bezug
                        
Bezug
Definition des Betrags: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Mo 20.11.2006
Autor: ullim

Hi,

jetzt hab ich ein Problem, wie lautet denn die Aufgabe genau, Du hast doch das Gleiche geschrieben wie vorher

[mm] |zw\cdot{}+1|^2 [/mm] wobei ich den Punkt hinter den w schon am Anfang nicht verstanden habe.

mfg ullim

Bezug
                                
Bezug
Definition des Betrags: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Mo 20.11.2006
Autor: uni.chris

Hallo,
der Punkt ist eigentlich ein Stern. Also das komplex konjugierte w.
(w*)

Die genaue Aufgabe ist:

Beweien Sie für alle w,z € C das sog. Parallelogramm Gesetze:

[mm] |zw*+1|^2 [/mm] + |z - [mm] w|^2 [/mm] = (1+ [mm] |z|^2)(1+|w|^2) [/mm]

[mm] |zw*-1|^2 [/mm] - [mm] |z-w|^2 [/mm] = [mm] (|z|^2-1)(|w|^2-1) [/mm]

Bezug
        
Bezug
Definition des Betrags: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mi 22.11.2006
Autor: otto.euler

Schreibe z=x+iy und w=u+iv mit [mm] x,y,u,v\in\IR. [/mm]

[mm] |z\overline{w}+1|^2+|z-w|^2 [/mm] =
[mm] |(x+iy)(u-iv)+1|^2+|(x+iy)-(u+iv)|^2 [/mm] =
[mm] |(xu+yv+1)+i(yu-xv)|^2+|(x-u)+i(y-v)|^2 [/mm] =
[mm] (xu+yv+1)^2+(yu-xv)^2+(x-u)^2+(y-v)^2 [/mm] =
[mm] (x^2u^2+2xyuv+y^2v^2+2xu+2yv+1)+(y^2u^2-2xyuv+x^2v^2)+(x^2-2xu+u^2)+(y^2-2yv+v^2) [/mm] =
[mm] 1+u^2+v^2+x^2+x^2u^2+x^2v^2+y^2+y^2u^2+y^2v^2 [/mm] =
[mm] (1+x^2+y^2)*(1+u^2+v^2) [/mm] =
[mm] (1+|z|^2)*(1+|w|^2) [/mm]
qed

Analog:
[mm] |z\overline{w}-1|^2-|z-w|^2 [/mm] = [mm] (|z|^2-1)*(|w|^2-1) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Definition des Betrags: Super
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 So 26.11.2006
Autor: uni.chris

Vielen lieben Dank.

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