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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Habe mal wieder eine etwas seltsame Definition unseres Profs:
[mm] f_{+} [/mm] = [mm] max\{f,0\}:\Omega \to [0,\infty]
[/mm]
[mm] f_{-} [/mm] = [mm] max\{-f,0\}:\Omega \to [0,\infty]
[/mm]
Ich hoffe, ich habe es nicht falsch abgschrieben, aber so verstehe ich es nicht.
was geht denn jetzt von [mm] \Omega \to [0,\infty]? [/mm] Das f oder das [mm] max\{f,0\}?
[/mm]
Und: kann man sich das irgendwie vorstellen, um es sich besser zu merken?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane!
> Hallo!
> Habe mal wieder eine etwas seltsame Definition unseres
> Profs:
> [mm]f_{+}[/mm] = [mm]max\{f,0\}:\Omega \to [0,\infty]
[/mm]
> [mm]f_{-}[/mm] =
> [mm]max\{-f,0\}:\Omega \to [0,\infty]
[/mm]
Das ist so zu lesen:
[mm] $f_{+}:\Omega \mapsto [0,\infty]$
[/mm]
$x [mm] \to \max\{f(x),0\}$
[/mm]
> Ich hoffe, ich habe es nicht falsch abgschrieben, aber so
> verstehe ich es nicht.
> was geht denn jetzt von [mm]\Omega \to [0,\infty]?[/mm] Das f oder
> das [mm]max\{f,0\}?
[/mm]
$f_+$ und [mm] $\max\{f,0\}$ [/mm] sind ja "dasselbe".
Aber es werden Elemente aus [mm] $\Omega$ [/mm] abgebildet auf [mm] $\IR^+_0$
[/mm]
> Und: kann man sich das irgendwie vorstellen, um es sich
> besser zu merken?
Ja, die Definition ist total simpel.
Sie bedeutet: $f_+$ soll von einer Funktion f der Teil sein, der oberhalb der x-Achse liegt, und $f_-$ ist der Teil, der unterhalb liegt, allerdings ist dieser gespiegelt an der x-Achse.
Das interessante ist nun folgendes:
Sowohl $f_+$ als auch $f_-$ nehmen nur nicht-negative Werte an und es gilt:
$f=f_+-f_-$
Viele Grüße,
Marc
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Servus Bastiane,
stell Dir irgendeine beliebige Funktion vor die schon die x-Achse ein paar mal schneiden sollte.
Den Kurvenverlauf unterhalb der Spiegelachse spiegelst Du an der x-Achse. Den Kurvenverlauf oberhalb der Spiegelachse belässt Du. Das heißt beim nachmalen des Kurvenverlaufs unterschreitest Du nicht die x-Achse. Das ist [mm] f_{+}.
[/mm]
Bei [mm] f_{-} [/mm] spiegelst Du alles oberhalb der Abzisse und der Rest lässt Du. Hier überschreitest Du beim nachmalen nicht die x-Achse.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo JannisCel!
Danke auch für deine Antwort, aber bist du sicher, dass das so richtig ist?
> Den Kurvenverlauf unterhalb der Spiegelachse spiegelst Du
> an der x-Achse. Den Kurvenverlauf oberhalb der Spiegelachse
> belässt Du. Das heißt beim nachmalen des Kurvenverlaufs
> unterschreitest Du nicht die x-Achse. Das ist [mm]f_{+}.
[/mm]
Ich nehme doch eigentlich das Maximum von f(x) und 0, und da für jede negative Funktion 0 größer ist als diese Zahl, wäre [mm] f_{+} [/mm] doch dann 0, oder? Wenn ich den Teil unterhalb der Achse spiegele, bekomme ich ja Werte >0 raus.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ja, deine Bedenken beim Lesen dieser Antwort waren berechtigt. Orientiere dich lieber an Marc Antwort, denn die ist richtig. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke für die Zustimmung, die andere Antwort hatte mich leicht verwirrt.
Viele Grüße
Bastiane
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Oh oh, Du hast völlig recht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Jetzt haben wir noch zwei Definitionen des Integrals mit [mm] f_{+} [/mm] und [mm] f_{-} [/mm] aufgeschrieben:
Sei f messbar.
(i) f ist integrierbar [mm] :\gdw \integral {f_{+} d m}<\infty [/mm] und [mm] \integral {f_{-} d m}<\infty
[/mm]
(ii) [mm] \integral{f d m} [/mm] existiert [mm] :\gdw \integral {f_{+}d m}<\infty [/mm] oder [mm] \integral {f_{-}d m}<\infty
[/mm]
(Eigentlich sollte es "mü" heißen (statt m), oder wie heißt der Buchstabe? Jedenfalls habe ich ihn hier nicht gefunden...)
So, jetzt meine Frage:
Zuerst habe ich gedacht, (i) und (ii) würden sich widersprechen, aber jetzt habe ich festgestellt, dass ja auch auf der linken Seite etwas anderes steht. Aber was ist denn der Unterschied zwischen "f ist integrierbar" und "das Integral existiert"? Und folgt das eine aus dem anderen?
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die erste Eigenschaft bedeutet, dass das Lebesgue-Integral existiert und endlich ist, sprich also, dass
[mm] $\int [/mm] f_+ [mm] d\mu [/mm] - [mm] \int [/mm] f_- [mm] d\mu$
[/mm]
definiert ist (in [mm] $\overline{\IR} [/mm] = [mm] \IR \cup \{-\infty,+ \infty\}$, [/mm] was immer der Fall ist, wenn nicht beide Integrale [mm] $+\infty$ [/mm] sind) und endlich ist.
In diesem Fall müssen also
[mm] $\int [/mm] f_+ d [mm] \mu$ [/mm] und [mm] $\int [/mm] f_- [mm] d\mu$
[/mm]
endlich sein!
Die zweite Eigenschaft ist die Quasi-Integrierbarkeit.
Das Lebesgue-Integral existiert dann, sprich wie oben:
[mm] $\int [/mm] f_+ [mm] d\mu [/mm] - [mm] \int [/mm] f_- [mm] d\mu$
[/mm]
ist definiert (in [mm] $\overline{\IR} [/mm] = [mm] \IR \cup \{-\infty,+ \infty\}$, [/mm] was immer der Fall ist, wenn nicht beide Integrale [mm] $+\infty$ [/mm] sind), aber es kann durchaus sein,
dass
1) [mm] $\int [/mm] f_+ [mm] d\mu \in \IR$ [/mm] und [mm] $\int [/mm] f_- [mm] d\mu [/mm] = + [mm] \infty$,
[/mm]
2) [mm] $\int [/mm] f_+ [mm] d\mu [/mm] = + [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $\int [/mm] f_- [mm] d\mu \in \IR$.
[/mm]
Im ersten Fall existiert [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] und ist gleich $- [mm] \infty$, [/mm] im zweiten Fall existiert [mm] $\inr [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] und ist gleich [mm] $+\infty$, [/mm] also in beiden Fällen nicht endlich.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Die erste Eigenschaft bedeutet, dass das Lebesgue-Integral
> existiert und endlich ist, sprich also, dass
Heißt das, dass das Lebesgue-Integral auch existieren kann und unendlich ist, ja? Und die Funktion heißt dann trotzdem integrierbar!?
> Das Lebesgue-Integral existiert dann, sprich wie oben:
>
> [mm]\int f_+ d\mu + \int f_- d\mu[/mm]
Das muss doch "-" heißen, oder???
> ist definiert (in [mm]\overline{\IR} = \IR \cup \{-\infty,+ \infty\}[/mm],
> was immer der Fall ist, wenn nicht beide Integrale [mm]+\infty[/mm]
> sind), aber es kann durchaus sein, dass
>
> 1) [mm]\int f_+ d\mu \in \IR[/mm] und [mm]\int f_- d\mu = + \infty[/mm],
>
> 2) [mm]\int f_+ d\mu = + \infty[/mm] und [mm]\int f_- d\mu \in \IR[/mm].
>
> Im ersten Fall existiert [mm]\int f d\mu[/mm] und ist gleich [mm]- \infty[/mm],
> im zweiten Fall existiert [mm]\inr f d\mu[/mm] und ist gleich
> [mm]+\infty[/mm], also in beiden Fällen nicht endlich.
Ja, diese zwei Fälle verstehe ich.
Aber wenn man jetzt mal von diesen beiden Definitionen absieht, was ist dann der Unterschied zwischen "integrierbar" und "das Integral existiert"? Kann es existieren und unendlich sein, aber dann ist es nicht integrierbar, oder wie?
Viele Grüße
Christiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Heißt das, dass das Lebesgue-Integral auch existieren kann
> und unendlich ist, ja?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (oder minus unendlich)
> Und die Funktion heißt dann trotzdem
> integrierbar!?
Nein, sie heißt dann quasi-integrierbar.
> > Das Lebesgue-Integral existiert dann, sprich wie oben:
> >
> > [mm]\int f_+ d\mu + \int f_- d\mu[/mm]
> Das muss doch "-" heißen,
> oder???
Ja, war ein Tippfehler.
> Ja, diese zwei Fälle verstehe ich.
> Aber wenn man jetzt mal von diesen beiden Definitionen
> absieht, was ist dann der Unterschied zwischen
> "integrierbar" und "das Integral existiert"? Kann es
> existieren und unendlich sein, aber dann ist es nicht
> integrierbar, oder wie?
Ja, das ist richtig. Das Integral eine Funktion kann existieren, aber die Funktion trotzdem nicht integrierbar sein (sonderm nur quasi-integrierbar). Dies ist genau dann der Fall, wenn genau eines der beiden Integrale [mm] $\int [/mm] f_+ [mm] d\mu$ [/mm] oder [mm] $\int [/mm] f_- [mm] d\mu$ [/mm] unendlich und das andere endlich ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Danke, Stefan, jetzt habe ich es verstanden.
Viele Grüße
Christiane
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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