Definitheit der Hesse-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mal kurze eine Frage zur Definitheit der Hesse-Matrix.
Habe nur von einem Kumpel was von Satz von Sylvester gehört, aber ob das damit was zu tun hat?
Bei Wiki hab ich das gefunden:
"Ist H an einer Stelle positiv definit, so befindet sich dort ein lokales Minimum der Funktion.
Ist H dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.
Ist H indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion, d. h., es liegt weder ein Minimum noch ein Maximum vor. "
Falls H an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so versagt dieses Kriterium..."
Wie kann es zu einem semidefiniten Fall kommen?
...und wenn die Hauptdiagonale der Matrix 0 ist, kann man dann über die Definitheit Aussagen machen?
mfg Tim
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> ich habe mal kurze eine Frage zur Definitheit der
> Hesse-Matrix.
Hallo,
wir reden von der Hessematrix von zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, richtig?
Nur zu diesen kann ich etwas sagen.
Wie Du bereits schreibst, kann mann über die Definitheit der Hessematrix an zuvor ermittelten kritischen Punkten Aussagen treffen über Extremwerte.
Deien Frage zielt darauf, wie man entscheiden kann, ob eine Matrix positiv definit (usw.) ist.
Wie gesagt, beschränke ich mich auf zweimal stetig differenzierbare, reelle Funktionen, in diesem Fall ist die Hessematrix symmetrisch, was die Frage vereinfacht.
> Habe nur von einem Kumpel was von Satz von Sylvester
> gehört, aber ob das damit was zu tun hat?
Ja, es ist das Kriterium, welches manchmal nach Sylvester und manchmal auch nach Hurwitz benannt wird (falls Du googeln willst).
Es sagt: sind alle Hauptminoren positiv, so ist die Matrix positiv definit,
sind die gearden Hauptminoren pos. und die ungeraden negativ, so ist die matrix negativ definit.
Ein anderes Kriterium sind die Eigenwerte.
Sind alle Eigenwerte positiv (negativ), so ist die Matrix positiv (negativ) definit.
Bei Indefinitheit gibt es positive und negative Eigenwerte.
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> Bei Wiki hab ich das gefunden:
>
> "Ist H an einer Stelle positiv definit, so befindet sich
> dort ein lokales Minimum der Funktion.
> Ist H dort negativ definit, so handelt es sich um ein
> lokales Maximum.
>
> Ist H indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt
> der Funktion, d. h., es liegt weder ein Minimum noch ein
> Maximum vor. "
>
> Falls H an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so
> versagt dieses Kriterium..."
>
> Wie kann es zu einem semidefiniten Fall kommen?
Semidefinit: die Eigenwerte sind nichtnegatic (nichtpositv), d.h. es gibt positive (negative) Eigenwerte und die Null.
> ...und wenn die Hauptdiagonale der Matrix 0 ist, kann man
> dann über die Definitheit Aussagen machen?
Keine Ahnung. Ich sehe da jedenfalls spontan keinen Zusammenhang. (Das MUSS aber nichts heißen)
Möglicherweise willst Du auf etwas anderes hinaus:
Wenn Du eine Matrix durch die üblichen Zeilenumformungen auf obere Dreiecksform bringen kannst so, daß alle Diagonalelemente positiv sind, ist sie positiv definit.
Gruß v. Angela
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Super. danke das hat mir schon ganz gut geholfen. Hab auch noch mal ein paar Mathebücher gewälzt und denke es jetzt verstanden zu haben
LG
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