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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Mi 07.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie die Definitheitseigenschaften von
A= [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
2. Gegeben seien B = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & a } [/mm] und C [mm] =\pmat{ b & -2 \\ -2 & b }. [/mm] Für welche a, b [mm] \in [/mm] R kann man zeigen, dass die Matrizen B, C positiv bzw. negativ definit sind?
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Moin,
also ich verstehe nicht genau, was Definitheit bedeutet.
zu Aufgabe 2. habe ich
[mm] x^t [/mm] * A *x (muss man das so machen, und warum?)
x = [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] und [mm] x^t [/mm] = (x1 x2) na gut, warum nicht.
[mm] x^T [/mm] * A
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & a }
[/mm]
(x1 x2)
-> (x1-2x2 x1+ax2)
(x1-2x2 x1+ax2)* [mm] \vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
(x1-2x2)*x1 + (x1+ax2)*x2
[mm] x1^2 [/mm] -2x1x2 + x1x2 [mm] +ax2^2
[/mm]
[mm] x1^2 -2x1*\bruch{x2}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{x2}{2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{x2}{2})^2 +ax2^2
[/mm]
(x1 - [mm] \bruch{x2}{2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{x2^2}{4} [/mm] + [mm] ax2^2
[/mm]
(x1 - [mm] \bruch{x2}{2})^2 [/mm] + [mm] x2^2*(a- \bruch{1}{4}) [/mm]
(x1 - [mm] \bruch{x2}{2})^2 [/mm] ist immer positiv
[mm] x2^2*(a- \bruch{1}{4}) [/mm] ist positiv wenn a > [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
aber jetzt, welchen ausdruck muss ich für "H1" einsetzen.
mit H1 meine ich [mm] \pmat{ H1 & H2 \\ H3 & H4 }
[/mm]
ist H1 hier 1 oder [mm] x1^2-2x1x2 [/mm] oder was???
danke und gruß
wolfgang
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Hallo,
bei Deiner Aufgabe irritiert mich die Matrix B, denn sie ist nicht symmetrisch.
Ich habe Definitheit bisher nur für symmetrische/hermitesche Matrizen kennengelernt.
Ist das ein Schreibfehler?
Wenn nein: wurde in Deiner Vorlesung Definitheit für allgemeine quadratische Matrizen erklärt?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Do 08.02.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Wolfgang,
wenn man symmetrische Matrizen auf pos. definitheit untersuchen muss, ist es am besten das Hauptminorenkriterium zu nehmen.(oder ist ads bei dieser Aufgabe nicht erlaubt?)
dann folgt ganz schnell für 1.)
det(3) > 0 und [mm] det\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1} [/mm] = 3-1 = 2 > 0, also ist die Matrix positiv definit.
Für nichtsymm. Matrizen muss man untersuchen, wann [mm] A^T [/mm] + A positiv definit ist.
(Begründung: [mm] A^T [/mm] + A pos. definit
[mm] \gdw x^T (A^T [/mm] + A ) x > 0
[mm] \gdw x^T A^T [/mm] x + [mm] x^T [/mm] A x > 0
[mm] \gdw x^T [/mm] A x + [mm] x^T [/mm] A x > 0 (da [mm] Zahl^T [/mm] = Zahl)
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] x^T [/mm] A x > 0
[mm] \gdw x^T [/mm] A x > 0, also A pos. def. )
d.h. bei 2.)
[mm] A^T [/mm] + A= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & a } [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & a }= \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2a }
[/mm]
det (2) >0
[mm] det\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2a } [/mm] = 4a-1 > 0 gdw. a > [mm] \frac{1}{4},
[/mm]
was du auf dem andren weg ja auch rausbekommen hast.
Was meinst du mit der Matrix mit [mm] H_1,H_2,...? [/mm]
Viele Grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 09.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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