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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 25.04.2014 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Prüfe mithilfe der Methode der quadratischen Ergänzung, ob die folgende Matrix positiv definit ist: [mm] A=\pmat{ 16 & 20 \\ 20 & 0 } [/mm] |
Hallo,
ich wollte mal die Lösung, die ich aufgeschrieben habe, überprüfen. Also um die Definitheit zu überprüfen rechnet man:
[mm] \vektor{x \\ y}^{T}\pmat{ 16 & 20 \\ 20 & 0 }\vektor{x \\ y}=16x^2+40xy
[/mm]
Das ist doch der Ausdruck als quadratische Ergänzung oder?
Um jetzt zu sagen welche Definitheit vorliegt, muss man eine Fallunterscheidung machen oder?
Also es kann weder positiv noch negativ definit sein, da der Ausdruck für x=0 und y [mm] \in \IR [/mm] /{0} zu null wird, d.h. es kann nur positiv oder negativ semi definit sein.
Jetzt weiß ich nicht wie die konkrete Fallunterscheidung aussieht. Kann mir einer helfen?
Viele Grüße
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> Prüfe mithilfe der Methode der quadratischen Ergänzung,
> ob die folgende Matrix positiv definit ist: [mm]A=\pmat{ 16 & 20 \\ 20 & 0 }[/mm]
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> Hallo,
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> ich wollte mal die Lösung, die ich aufgeschrieben habe,
> überprüfen. Also um die Definitheit zu überprüfen
> rechnet man:
> [mm]\vektor{x \\ y}^{T}\pmat{ 16 & 20 \\ 20 & 0 }\vektor{x \\ y}=16x^2+40xy[/mm]
>
> Das ist doch der Ausdruck als quadratische Ergänzung
> oder?
Hallo,
ergänzt hast Du bisher doch noch nichts.
Paß auf:
> [mm]\vektor{x \\ y}^{T}\pmat{ 16 & 20 \\ 20 & 0 }\vektor{x \\ y}=16x^2+40xy[/mm]
[mm] =(4x)^2+2*4x*5y
[/mm]
Jetzt zur binomischen Formel ergänzen
[mm] =(4x)^2+2*4x*5y+(5y)^2-(5y)^2
[/mm]
[mm] =(4x+5y)^2-5y^2
[/mm]
> Um jetzt zu sagen welche Definitheit vorliegt, muss man
> eine Fallunterscheidung machen oder?
Jetzt muß man sich überlegen, ob das immer - also für alle Vektoren [mm] \vektor{x\\y}\not=\{0\\0} [/mm] - positiv ist, dann wäre die Matrix pos. definit.
> Also es kann weder positiv noch negativ definit sein, da
> der Ausdruck für x=0 und y [mm]\in \IR[/mm] /{0} zu null wird,
Das stimmt.
> d.h.
> es kann nur positiv oder negativ semi definit sein.
Nein.
Überlege Dir, daß Du pos. und neg. Ergebnisse bekommen kannst.
LG Angela
> Jetzt weiß ich nicht wie die konkrete Fallunterscheidung
> aussieht. Kann mir einer helfen?
>
> Viele Grüße
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