Das charakteristische Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 16.01.2004 | | Autor: | Olliput |
Hi!
Nachdem mir der gute Marc ja schon zweimal auf die Sprünge geholfen hat (danke nochmal :)) hab ich nun wieder eine Frage:
Es sei K ein Körper und A,B e M n (K). Zeigen Sie, dass AB und BA dasselbe charakteristische Polynom besitzen.
Im Tutorium wurde mir der Tipp gegeben, erstmal den Fall zu betrachten mit
(E r 0) wobei r der Rang der Matrix sein soll.
A= (0 0)
Für den Fall kann ich das auch zeigen, aber wie ziege ich dass allgemein?
Hoffe ihr könnt mir helfen, besten Dank schon mal im voraus,
mfg Olliput
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 16.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Mist, hier war ein dicker Fehler drin! Jetzt sollte es stimmen!
Hallo Olliput!
Nun ja, nehmen wir mal an, du hast die Aussage für
[mm]A= \left( \begin{array}{cc} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)[/mm]
gezeigt (das kriegst du hin). Dann geht es so weiter:
Nach bekannten Sätzen der Linearen Algebra gibt es für eine beliebige Matrix [mm]A \in M_n(\IK)[/mm] zwei Matrix [mm]M,N \in GL_n(\IK)[/mm] mit
[mm] NAM =
\underbrace{\left( \begin{array}{cc} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)}_{= \tilde{A}}[/mm].
Dann gilt für das charakteristische Polynom (CP):
[mm]CP_{AB}(t)[/mm]
[mm]= \det(AB - t\, E_n)[/mm]
[mm]= (det(N))^{-1} \cdot det(N) \cdot \det(AB - t\, E_n) \cdot [/mm]
[mm]= det(N) \cdot \det(AB - t\, E_n) \cdot \det(N^{-1}) [/mm]
[mm]= \det(N \cdot (AB - t\, E_n) \cdot N^{-1})[/mm]
[mm]= \det(N A B N^{-1} - tN E_n N^{-1})[/mm]
[mm]= \det(NABN^{-1} - t E_n )[/mm]
[mm]= CP_{NABN^{-1}}(t)[/mm]
[mm]= CP_{NAMM^{-1}BN^{-1}}(t)[/mm]
[mm]= CP_{\tilde{A}M^{-1}BN^{-1}}(t)[/mm]
[mm]= CP_{M^{-1}BN^{-1}\tilde{A}}(t)[/mm] (denn dafür haben wir es ja gezeigt)
[mm]= CP_{M^{-1}BN^{-1}NAM}(t)[/mm]
[mm]= CP_{M^{-1}BAM}(t)[/mm]
[mm]= \det(M^{-1}BAM - t\, E_n)[/mm]
[mm]= \det(M^{-1}BAM - tM^{-1}ME_n)[/mm]
[mm]= \det(M^{-1}BAM - tM^{-1}E_n M)[/mm]
[mm]=\det(M^{-1}\cdot (BA - t \,E_n) \cdot M)[/mm]
[mm]= \det(M^{-1}) \cdot \det(BA-t\, E_n) \cdot \det(M)[/mm]
[mm]= (\det(M))^{-1} \cdot \det(BA-t\, E_n) \cdot \det(M)[/mm]
[mm]= \det(BA-t\, E_n)[/mm]
[mm]= CP_{BA}(t)[/mm].
Falls dir ein Schritt unklar ist, dann melde dich bitte.
Der Beweis lässt sich abkürzen, wenn ihr Teilaussagen davon vorher schon bewiesen habe (wie etwa die Invarianz der Determinante unter Basistransformationen).
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Olliput |
Vielen Dank wieder mal, ich kann jeden Schritt nachvollziehen (darauf gekommen wär ich zwar in 10 Jahren nich, aber ich studier ja auch Physik ;)).
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