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| Aufgabe | Beweisen sie, dass es keine Folge [mm]F_1, F_2,...[/mm] abgeschlossener Mengen in [mm]\IR[/mm] mit
[mm]\IR\setminus\IQ=\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i[/mm]
gibt. |
Hallo!
Kann mir jemand dazu einen Tip geben?
Meine Idee war ein Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gäbe so eine Folge.
Nach dem Satz von Baire weiß ich ja nun, dass dann mindestens eines der [mm]F_i[/mm] einen inneren Punkt hat. Aber wie schließe ich jetzt weiter? Muss ich einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit der [mm] F_i [/mm] fnden?
Ich wäre dankbar für einen Anhaltspunkt.
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen sie, dass es keine Folge [mm]F_1, F_2,...[/mm]
> abgeschlossener Mengen in [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]\IR\setminus\IQ=\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i[/mm]
> gibt.
> Hallo!
>
> Kann mir jemand dazu einen Tip geben?
>
> Meine Idee war ein Widerspruchsbeweis:
> Angenommen, es gäbe so eine Folge.
> Nach dem Satz von Baire weiß ich ja nun, dass dann
> mindestens eines der [mm]F_i[/mm] einen inneren Punkt hat.
Richtig. Nennen wir diesen Punkt [mm] x_0. [/mm] Es ex also ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit:
[mm] $x_0 \in (x_0- \varepsilon, x_0+ \varepsilon) \subseteq F_i$
[/mm]
Dann gilt aber
[mm] $(x_0- \varepsilon, x_0+ \varepsilon) \subseteq \IR\setminus\IQ$
[/mm]
Kann das sein ?
FRED
Edit: ich nehme alles zurück ! Der Satz von Baire ist hier nicht anwendbar, da [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] nicht vollständig ist.
> Aber wie
> schließe ich jetzt weiter? Muss ich einen Widerspruch zur
> Abgeschlossenheit der [mm]F_i[/mm] fnden?
>
> Ich wäre dankbar für einen Anhaltspunkt.
>
> Gruß
> Deuterinomium
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Danke, manchmal muss man mit der Nase drauf gestoßen werden:
Das kann natürlich nicht sein, da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] ist und somit für jede reelle Zahl q und jedes [mm]\epsilon>0[/mm] ein rationales r existiert mit der Eigenschaft, dass [mm]r\in B_{\epsilon}(q)[/mm] im Wiederspruch dazu, dass [mm]r\in B_{\epsilon}(q)\subset\IR\setminus\IQ[/mm] .
Ist die Argumentation so richtig?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke, manchmal muss man mit der Nase drauf gestoßen
> werden:
>
> Das kann natürlich nicht sein, da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] ist und
> somit für jede reelle Zahl q und jedes [mm]\epsilon>0[/mm] ein
> rationales r existiert mit der Eigenschaft, dass [mm]r\in B_{\epsilon}(q)[/mm]
> im Wiederspruch dazu, dass [mm]r\in B_{\epsilon}(q)\subset\IR\setminus\IQ[/mm]
> .
>
> Ist die Argumentation so richtig?
Ja
Widerspruch schreibt man nicht mit "ie"
FRED
>
> Gruß
>
> Deuterinomium
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Stimmt was nicht mit der Beweisidee, oder warum ist die Antwort jetzt als noch nicht fertig markiert?
Gruß
Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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