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| Aufgabe | Sei [mm] P=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] und
g: Mat(2x2, [mm] \IR) \to [/mm] Mat(2x2, [mm] \IR) [/mm] , M [mm] \mapsto [/mm] P * M * P(transponiert)
Bestimmen sie die Darstellungsmatrix M(von D nach D) bezüglich der Basis
D=( [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] ) |
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich P * M * P(transponiert) durch eine Matrix ausdrücken kann! Wie ich vom Raum aller 2x2 Matrizen in den Raum mit der Basis D komme, weiß ich, aber das ist ja nur die halbe Miete.
Vielleicht lässt sich das ganze ja auch per Transformationsformel lösen/vereinfachen, aber auch dafür müsste ich doch die Abbildungsvorschrift P * M * P(transponiert) irgendwie durch eine Matrix ausdrücken, oder nicht?
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> Sei [mm]P=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] und
> g: Mat(2x2, [mm]\IR) \to[/mm] Mat(2x2, [mm]\IR)[/mm] , M [mm]\mapsto[/mm] P * M *
> P(transponiert)
> Bestimmen sie die Darstellungsmatrix M(von D nach D)
> bezüglich der Basis
> D=( [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] ,
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm] , [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] )
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich P * M *
> P(transponiert) durch eine Matrix ausdrücken kann! Wie ich
> vom Raum aller 2x2 Matrizen in den Raum mit der Basis D
> komme, weiß ich, aber das ist ja nur die halbe Miete.
> Vielleicht lässt sich das ganze ja auch per
> Transformationsformel lösen/vereinfachen, aber auch dafür
> müsste ich doch die Abbildungsvorschrift P * M *
> P(transponiert) irgendwie durch eine Matrix ausdrücken,
> oder nicht?
Hallo,
"Darstellungmatrix von g bzgl der Basis D" funktioniert ja prinzipell so:
in die Spalten der darstellenden Matrix kommen die Bilder der Basisvektoren von D in Koordinaten bzgl. D.
Man berechnet also für die 1. Spalte
[mm] g(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }* \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 1& 1 }= [/mm] ...
Die erhaltene matrix schreibt man nun als Linearkomination der Elemente von D:
...=a* [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+b*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }*c*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }*d*\pmat{ -1 & 0 \\ 1 & 0 }=\vektor{a\\b\\c\\d}_{(D)},
[/mm]
und dieser letzte Vektor ist der Koordinatenvektor des Bildes von [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] bzgl der Basis D. Er bildet die erste Spalte der gesuchten Matrix. Die anderen ebenso.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Mi 07.01.2009 | | Autor: | karlhungus |
hallo nochmal,
da habe ich den wald anscheinend vor lauter bäumen nicht gesehen.
vielen dank, ist ja ein kinderspiel,
karlhungus
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