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| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-VR mit Basis $ [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] $ und $ [mm] \omega [/mm] $ eine Determinantenform auf V mit $ [mm] \omega (b_1,...,b_n)=1 [/mm] $. Sei $ [mm] v=\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n \in [/mm] V $.
Sei die lin. Abb. [mm]f:V\rightarrow V[/mm] gegeben durch [mm] f(b_i)=b_1+...+b_{i-1}+b_{i+1},...,b_n[/mm] für alle [mm]i\in {1,...,n}[/mm]. Berechnen Sie det(f). |
Hallo,
ich denke mal, dass ich nicht alle Informationen der Aufgabenstellung brauche, weil diese Aufgabe Teil b der Aufgabe ist und ich Aufgabenteil a einfach mal weggelassen habe.
Okay, ich habe mir bisher folgendes gedacht: Um die Determinante berechnen zu können, brauche ich erst einmal die Darstellungsmatrix. Beim Berechnen davon habe ich einige Probleme.
Mein Ansatz: Sei v[mm]\in [/mm]V und [mm] f:V\rightarrow V[/mm] lineare Abbildung mit [mm]f(b_i)=f(b_i)=b_1+...+b_{i-1}+b_{i+1},...,b_n[/mm].
Dann kann ich v schreiben als: [mm]v=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}b_{i}[/mm] und [mm]f(v)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\mu_{i}b_{i}[/mm].
Dann gilt nun ja [mm] f(v)=f(\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}b_{i})=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}b_{i}\cdot f(b_i).
[/mm]
Nun kann ich für [mm]f(b_i)[/mm] das gegebene einsetzen. Mein Problem ist aber jetzt, dass ich am Ende keine Beziehung zwischen [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] herstellen kann, die ich aber für die Darstellungsmatrix brauche.
Wie mache ich also richtig weiter???
Gruß tsleep
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> Sei V ein n-dimensionaler K-VR mit Basis [mm](b_1,...,b_n)[/mm] und
> [mm]\omega[/mm] eine Determinantenform auf V mit [mm]\omega (b_1,...,b_n)=1 [/mm].
> Sei [mm]v=\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n \in V [/mm].
> Sei die lin. Abb. [mm]f:V\rightarrow V[/mm] gegeben durch
> [mm]f(b_i)=b_1+...+b_{i-1}+b_{i+1},...,b_n[/mm] für alle [mm]i\in {1,...,n}[/mm].
> Berechnen Sie det(f).
Hallo,
die Darstellungsmatrix würde man hier natürlich bzgl der gegebenen Basis [mm] B=(b_1,...,b_n) [/mm] aufstellen.
das ist wirklich einfach:
in die i-te Spalte kommt das Bild des i-ten Basisvektors von B in Koordinaten bzgl. B.
Ich mach's mal für n=3:
[mm] f(b_1)=\vektor{0\\1\\1}_{(B)}
[/mm]
[mm] f(b_2)=\vektor{1\\0\\1}_{(B)}
[/mm]
[mm] f(b_3)=\vektor{1\\1\\0}_{(B)},
[/mm]
und damit steht die Matrix ja schon.
Gruß v. Angela
> Hallo,
> ich denke mal, dass ich nicht alle Informationen der
> Aufgabenstellung brauche, weil diese Aufgabe Teil b der
> Aufgabe ist und ich Aufgabenteil a einfach mal weggelassen
> habe.
> Okay, ich habe mir bisher folgendes gedacht: Um die
> Determinante berechnen zu können, brauche ich erst einmal
> die Darstellungsmatrix. Beim Berechnen davon habe ich
> einige Probleme.
> Mein Ansatz: Sei v[mm]\in [/mm]V und [mm]f:V\rightarrow V[/mm] lineare
> Abbildung mit
> [mm]f(b_i)=f(b_i)=b_1+...+b_{i-1}+b_{i+1},...,b_n[/mm].
> Dann kann ich v schreiben als:
> [mm]v=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}b_{i}[/mm] und
> [mm]f(v)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\mu_{i}b_{i}[/mm].
> Dann gilt nun ja
> [mm]f(v)=f(\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}b_{i})=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}b_{i}\cdot f(b_i).[/mm]
>
> Nun kann ich für [mm]f(b_i)[/mm] das gegebene einsetzen. Mein
> Problem ist aber jetzt, dass ich am Ende keine Beziehung
> zwischen [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] herstellen kann, die ich aber für
> die Darstellungsmatrix brauche.
> Wie mache ich also richtig weiter???
>
> Gruß tsleep
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