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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 10.01.2013 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Seien $f,g [mm] \in [/mm] $End$(V)$ nilpotent, die zusätzlich $f [mm] \circ [/mm] g=g [mm] \circ [/mm] f$ erfüllen. Zeigen Sie, dass es eine Basis von V gibt, so dass die Darstellungsmatrizen von $f$ und $g$ beide obere Dreiecksgestalt haben. |
Hallo,
irgendwie komme ich da nicht weiter und habe auch keine wirkliche Idee.
Da $f,g$ nilpotent gibt es Basen, so dass $f,g$ eine strikte obere Dreieksmatrix als Darstellungsmatrix haben. Allerdings sind diese Basen dann ja nicht notwendigerweise dieselben. Ich habe probiert aus AB=BA für quadratische Matrizen A,B ein Gleichungssystem zu machen, allerdings hat dies ja auch keinen Sinn.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Fr 11.01.2013 | | Autor: | hippias |
Sieh Dir den Beweis fuer die Konstruktion der Basis fuer $f$ an; Du wirst vermutlich feststellen, dass ihr dazu die Raume $Kern [mm] f^{k}$ [/mm] fuer wachsendes $k$ benutzt habt. Mache Dir klar, dass diese Raeume $g$-invariant sind. Wende Induktion an und betrachte im Induktionsschritt die Abbildungen, die $f$ und $g$ in dem Raum $V/Kern f$ induzieren.
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