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| Aufgabe | Es sei durch $f : [mm] \IR^3 [/mm] [mm] \times \IR^3 \to \IR$ [/mm] eine Bilinearform definiert (dies muss nicht gezeigt werden!)
$f [mm] ((x_1, x_2, x_3)^T, (y_1, y_2, y_3)^T) [/mm] = [mm] 3x_1y_1 [/mm] - [mm] 2x_1y_3 [/mm] + [mm] x_2y_2 [/mm] - [mm] 3x_3y_2 [/mm] + [mm] 2x_3y_3$.
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Bilinearform $f$ bezüglich der kanonischen Basis und bezüglich der Basis
$B = ((1, 2, [mm] 1)^T, [/mm] (3, 1, [mm] 0)^T, [/mm] (2, 0, [mm] 0)^T)$. [/mm] |
huhu,
also normalerweise würde ich den Vektor (ich denke mal einen Vektor der Basis 2 mal sozusagen in die Funktion eingeben als y UND x [mm] \in \IR^3 [/mm] )
Dabei kriege ich ja immer ein einzelne Zahl, also kein Vektor a la [mm] \IR^3 [/mm] mehr. Normalerweise würd ich, nachdem ich den Vektor durch die Funktion abgebildet habe, diesen als Linearkombination der Vektoren der anderen Basis darstellen diese sind aber ja immernoch 3 dimensional und sowas wie (beispielsweise)
5 = [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 4 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{5 \\ 5 \\ 4} [/mm]
kann man ja gar nicht lösen! wie muss ich vorgehen?
Gruß,
Eve
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> Es sei durch f : [mm]\IR^3[/mm] x [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] eine Bilinearform
> definiert (dies muss nicht gezeigt werden!)
> f ((x1, x2, [mm]x3)^T,[/mm] (y1, y2, [mm]y3)^T)[/mm] = 3x1y1 - 2x1y3 + x2y2
> - 3x3y2 + 2x3y3
> Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Bilinearform f
> bezüglich der kanonischen Basis und bezüglich
> der Basis
> B = ((1, 2, [mm]1)^T,[/mm] (3, 1, [mm]0)^T,[/mm] (2, 0, [mm]0)^T).[/mm]
Hallo,
etwas ganz Wesentliches ist Dir entgangen: es geht hier nicht um die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung, sondern um die Darstellungsmatrix einer Bilinearform ("Gram-Matrix").
Wenn [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] Deine Basis ist, so hast Du die Gram-Matrix [mm] A:=(a_i_k) [/mm] mit [mm] a_i_k=f(b_i, b_k).
[/mm]
LG Angela
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> > Es sei durch f : [mm]\IR^3[/mm] x [mm]\IR^3 \to \IR[/mm] eine Bilinearform
> > definiert (dies muss nicht gezeigt werden!)
> > f ((x1, x2, [mm]x3)^T,[/mm] (y1, y2, [mm]y3)^T)[/mm] = 3x1y1 - 2x1y3 +
> x2y2
> > - 3x3y2 + 2x3y3
> > Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Bilinearform f
> > bezüglich der kanonischen Basis und bezüglich
> > der Basis
> > B = ((1, 2, [mm]1)^T,[/mm] (3, 1, [mm]0)^T,[/mm] (2, 0, [mm]0)^T).[/mm]
>
> Hallo,
>
> etwas ganz Wesentliches ist Dir entgangen: es geht hier
> nicht um die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung,
> sondern um die Darstellungsmatrix einer Bilinearform
> ("Gram-Matrix").
>
> Wenn [mm]B:=(b_1,...,b_n)[/mm] Deine Basis ist, so hast Du die
> Gram-Matrix [mm]A:=(a_i_k)[/mm] mit [mm]a_i_k=f(b_i, b_k).[/mm]
>
oh das ist ja dann wirklich was anderes hmm?
edit: habs mal bei wikipedia angeguckt und ich denke ich kriegs hin^^ kann geschlossen werden danke ;)
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