Darstellungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren [mm] v_1 = \vektor {2 \\ 1} , v_2 = \vektor {3 \\ 2} [/mm] .
Sei [mm] f: \IR^2 \to \IR^2 , \vektor {x \\ y} \mapsto \vektor {x +y \\ x}. [/mm] Berechnen Sie die Darstellungsmatrix [mm] M^{v}_{v} (f). [/mm] |
Wir sitzen gerade da und grübeln uns die Köpfe wund. Wie macht man das?
Wir haben überlegt ein Gleichungssystem aufzustellen. D.h. wir nehmen [mm] v_1 [/mm] und addieren auf den x-Wert den y-Wert und als neuen y-Wert den vorherigen x-Wert.
Und das ist unser Ergebnisvektor.
Um auf die Darstellungsmatrix zu kommen bräuchten wir aber eine Matrix die aus einem 2 x 1 wieder einen 2 x 1 Vektor macht. Aber das ist an sich doch nicht möglich oder?
Wie macht man das?
Danke!
P.S. Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
|
|
| |
|
> Gegeben seien die Vektoren [mm]v_1 = \vektor {2 \\ 1} , v_2 = \vektor {3 \\ 2}[/mm]
> .
>
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR^2 , \vektor {x \\ y} \mapsto \vektor {x +y \\ x}.[/mm]
> Berechnen Sie die Darstellungsmatrix [mm]M^{v}_{v} (f).[/mm]
> Wir
> sitzen gerade da und grübeln uns die Köpfe wund. Wie macht
> man das?
Hallo,
ich vermute mal ganz stark, daß mit V die Basis [mm] V=(\vektor{2 \\ 1},\vektor{3 \\ 2}) [/mm] gemeint ist.
Ihr sollt also die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis liefern.
Dazu müßt Ihr zunächst die Bilder der beiden Vektoren berechnen, also
[mm] f(\vektor{2 \\ 1}) [/mm] und [mm] f(\vektor{3 \\ 2}).
[/mm]
Es ist [mm] f(\vektor{2 \\ 1})=\vektor{2+1 \\ 2}=\vektor{3 \\ 2},
[/mm]
[mm] f(\vektor{3 \\ 2})=....
[/mm]
> Wir haben überlegt ein Gleichungssystem aufzustellen. D.h.
> wir nehmen [mm]v_1[/mm] und addieren auf den x-Wert den y-Wert und
> als neuen y-Wert den vorherigen x-Wert.
Genau das, was ich oben getan habe, beschreibt Ihr hier.
>
> Um auf die Darstellungsmatrix zu kommen bräuchten wir aber
> eine Matrix die aus einem 2 x 1 wieder einen 2 x 1 Vektor
> macht. Aber das ist an sich doch nicht möglich oder?
Was Ihr nun benötigt, ist die Darstellung von [mm] f(\vektor{2 \\ 1})=\vektor{2+1 \\ 2}=\vektor{3 \\ 2} [/mm] und [mm] f(\vektor{3 \\ 2}) [/mm] in Koordinaten bzgl. V.
Ihr müßt also schauen, wie man [mm] f(\vektor{2 \\ 1}) [/mm] und [mm] f(\vektor{3 \\ 2}) [/mm] als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schreiben kann.
Bei [mm] f(\vektor{2 \\ 1}) [/mm] ist das sehr einfach:
[mm] f(\vektor{2 \\ 1})=\vektor{3 \\ 2}= 0*\vektor{2 \\ 1}+1*\vektor{3 \\ 2}=\vektor{0 \\ 1}_V, [/mm] und dies ergibt die erste Spalte der gesuchten Darstellungsmatrix.
Die zweite bekommt Ihr nun selber hin.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Kannst du bitte nochmal die Formeln richtig formatieren?
Man kann überhaupt nicht erkennen was du da eigentlich gemacht hast.
Korregiere das nochmal bitte.
Danke!^^
|
|
|
| |
|
Hallo,
wir haben jetzt den zweiten Vektor auch als Linearkombination erstellt und zwar so:
[mm] f(\vektor {3\\2} = 1*\vektor {2\\1} + 1*\vektor {3 \\2} = \vektor {5\\3}_V [/mm]
Das dürfte dann ja die zweite Spalte sein.
Ergo: [mm] M^v_v= \pmat{0 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm]
Bei der Kontrolle kam jedoch was anderes raus.
Der Fehler ist, dass eine 1 und eine 0 vertauscht werden müssen:
[mm] M^v_v= \pmat { 1 & 1\\ 1 & 0} [/mm]
Aber wieso? Und was hab ich falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Di 02.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo
>
> Ergo: [mm]M^v_v= \pmat{0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
das ist korrekt!
> Bei der Kontrolle kam jedoch was anderes raus.
> Der Fehler ist, dass eine 1 und eine 0 vertauscht werden
> müssen:
>
> [mm]M^v_v= \pmat { 1 & 1\\ 1 & 0} [/mm]
Das ist falsch!
> Aber wieso? Und was hab ich falsch gemacht?
Nichts!
|
|
|
| |
|
> [mm]f(\vektor {3\\2} = 1*\vektor {2\\1} + 1*\vektor {3 \\2} = \vektor {5\\3}_V[/mm]
Hallo,
ich nehme an, daß es nur ein Schreibfehler ist: [mm] \vektor {5\\3}_V [/mm] stimmt nicht, es muß an der Stelle [mm] \vektor {5\\3} [/mm] heißen oder [mm] \vektor {1\\1}_V.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Di 02.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Angela,
du hast natürlich recht.
Aber ich denke, das ist in der Tat nur ein Schreibfehler. Denn die Darstellungsmatrix ist im Ergebnis richtig.
Es gibt noch einen weiteren - vielleicht etwas systematischeren - Weg, an die Matrix zu kommen:
1. Man wandelt zuerst eine Darstellung bzgl. V um in die Darstellung bzgl. der kanonischen Basis.
2. Man multipliziert mit der Darstellung bzgl. der kanonischen Basis (die man ja direkt ablesen kann)
3. Man verwandelt zurück in die Darstellung bzgl. V
Das hört sich evtl kompliziert an, ist es aber nicht:
1. Multiplikation mit [mm] $\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 2 }$
[/mm]
2. Multiplikation mit [mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }$
[/mm]
3. Multiplikation mit [mm] $\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 2 }^{-1}$ [/mm] (wie man 2 x 2 - Matrizen schnell invertiert, ist bekannt)
Im Ergebnis ist also
[mm] $M_V^V [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 2 }^{-1} \cdot \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }$
[/mm]
Gruß
Will
|
|
|
|
