Darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle zusammen!
Hab eine Frage zu folgender Aufgabe:
Die Drehung f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] der euklidischen Ebene (d.h. [mm] \IR^{2}) [/mm] um den Koordinatenursprung um einen Winkel [mm] \alpha [/mm] ist eine lineare Abbildung. Man kann sich f so vorstellen. dass zu jedem Punkt x [mm] \in \IR^{2} [/mm] der Punkt f(x) entsteht, indem man x gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung um den Winkel [mm] \alpha [/mm] dreht.
Geben Sie die Matrix [mm] A=(M^{B})_{B} [/mm] an, wobei B=(e1,e2) die Standardbasis ist.
Ich wollte jetzt eigentlich nur wissen, ob ich das mit der Darstellungsmatrix richtig verstanden habe, weil ich dazu einerlei Berechnungen anstellen muss.
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Franzie,
> Hallo alle zusammen!
> Hab eine Frage zu folgender Aufgabe:
> Die Drehung f: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] der euklidischen Ebene
> (d.h. [mm]\IR^{2})[/mm] um den Koordinatenursprung um einen Winkel
> [mm]\alpha[/mm] ist eine lineare Abbildung. Man kann sich f so
> vorstellen. dass zu jedem Punkt x [mm]\in \IR^{2}[/mm] der Punkt
> f(x) entsteht, indem man x gegen den Uhrzeigersinn um den
> Koordinatenursprung um den Winkel [mm]\alpha[/mm] dreht.
>
> Geben Sie die Matrix [mm]A=(M^{B})_{B}[/mm] an, wobei B=(e1,e2) die
> Standardbasis ist.
In den Spalten der darstellenden Matrix stehen ja die Bilder der Basisvektoren! Worauf wird denn [mm] $\pmat{1 \\ 0}$ [/mm] abgebildet? Nun ja, der Verktor wird um den Winkel [mm] \alpha [/mm] gedreht und damit auf den neuen Vektor [mm] $\pmat{a \\ b}$ [/mm] abgebildet, wobei nach Pythagoras gilt: [mm] $\cos \alpha [/mm] = a$ und [mm] $\sin \alpha [/mm] = b$. Skizziere dir das am besten! Der zweite Vektor wird entsprechend auf [mm] $\pmat{-\sin \alpha \\ \cos \alpha }$ [/mm] abgebildet. Die darstellende Matrix ist also:
[mm] $\pmat{\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha}$.
[/mm]
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Danke für den Tipp. Mit Skizze ist das klar. Ich hab jetzt noch die Determinante dessen berechnet und soll nun die inverse Matrix bestimmen. Hier weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll. Schon klar, mit dem Gaußschen Algorithmus. Aber wie wende ich das an?
Also ich hab mir zwar durch Überlegungen und meine Skizze klar gemacht, was die inverse Matrix ist. Aber wie komm ich mit dem normalen Algorithmus auf diese Lösung?
liebe Grüße
Franzie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Franzie,
> Danke für den Tipp. Mit Skizze ist das klar. Ich hab jetzt
> noch die Determinante dessen berechnet und soll nun die
> inverse Matrix bestimmen. Hier weiß ich nicht, wie ich das
> anstellen soll. Schon klar, mit dem Gaußschen Algorithmus.
> Aber wie wende ich das an?
> Also ich hab mir zwar durch Überlegungen und meine Skizze
> klar gemacht, was die inverse Matrix ist. Aber wie komm ich
> mit dem normalen Algorithmus auf diese Lösung?
für $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrizen bietet sich die Regel an:
[mm]A^{-1} = \pmat{a & b \\ c & d}^{-1}=\bruch{1}{det A}\pmat{d & -b \\ -c & a}[/mm].
Natürlich geht das auch mit dem Gauss-Algorithmus, aber was ist dir denn dabei nicht klar? Für den ersten Schritt multipliziere z.B. Zeile 1 mit dem Faktor $- [mm] \sin \alpha$ [/mm] und die zweite mit dem Faktor [mm] $\cos \alpha$.
[/mm]
Viele Grüße
Astrid
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